Предел функции (без Лопиталя)

[N]

Здравствуйте.
Помогите с пределам, подскажите как решать.

$$\lim_{x\to 0}{\frac {\tg(x) - \sin(x)} {x - \sin(x)}}$$

Лопиталя использовать нельзя

Спасибо.

[Someone]

$$\lim_{x\to 0}\frac{\tg x-\sin x}{x-\sin x}$$

Используйте формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, раз запрещено правило Лопиталя. Достаточно разложить функции до членов порядка $x^3$ включительно.

$$\lim_{x\to 0}\frac{\tg x-\sin x}{x-\sin x}$$

[ShMaxG]

Интересно как можно посчитать этот предел не используя Тейлора... чисто через оценки...

[ewert]

ShMaxG в сообщении #169864 писал(а):

Интересно как можно посчитать этот предел не используя Тейлора... чисто через оценки...

Да извратиться-то можно всегда и по-всякому. Например, пусть

$$\lim{x-\sin x\over x^3}=a$$

. Тогда

$$a=\lim{3x-\sin 3x\over (3x)^3}=\lim{3x-3\sin x+4\sin^3x\over 27x^3}={3\over27}a+{4\over27}\,,$$

откуда

$$a={1\over6}$$

. Правда, это лишь способ вычислить предел, но не доказать его существование. И в любом случае: преподаватель, заставляющий считать подобные пределы без Тейлоров и Лопиталей -- явный извращенец.