2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Предел функции (без Лопиталя)
Сообщение22.12.2008, 01:51 
Здравствуйте.
Помогите с пределам, подскажите как решать.

$$\lim_{x\to 0}{\frac {\tg(x) - \sin(x)} {x - \sin(x)}}$$


Лопиталя использовать нельзя

Спасибо.

 
 
 
 
Сообщение22.12.2008, 02:05 
Аватара пользователя
$$\lim_{x\to 0}\frac{\tg x-\sin x}{x-\sin x}$$

Используйте формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, раз запрещено правило Лопиталя. Достаточно разложить функции до членов порядка $x^3$ включительно.

Код:
$$\lim_{x\to 0}\frac{\tg x-\sin x}{x-\sin x}$$

 
 
 
 
Сообщение22.12.2008, 02:25 
Аватара пользователя
Интересно как можно посчитать этот предел не используя Тейлора... чисто через оценки...

 
 
 
 
Сообщение22.12.2008, 10:20 
ShMaxG в сообщении #169864 писал(а):
Интересно как можно посчитать этот предел не используя Тейлора... чисто через оценки...

Да извратиться-то можно всегда и по-всякому. Например, пусть $$\lim{x-\sin x\over x^3}=a$$. Тогда

$$a=\lim{3x-\sin 3x\over (3x)^3}=\lim{3x-3\sin x+4\sin^3x\over 27x^3}={3\over27}a+{4\over27}\,,$$

откуда $$a={1\over6}$$. Правда, это лишь способ вычислить предел, но не доказать его существование. И в любом случае: преподаватель, заставляющий считать подобные пределы без Тейлоров и Лопиталей -- явный извращенец.

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group