Теория групп подгруппы

[Алина:)]

я не понимаю теорию групп,а задачи решать надо... ниже я привожу свои попытки решить задачи..

задачи
1)$\mathbb Z_2\oplus\mathbb Z_{6}\oplus\mathbb Z_{12}\oplus\mathbb Z_{75}$ найти подгруппы порядка 10
2)$\mathbb Z_4\oplus\mathbb Z_{24}$ найти все подгруппы
3)количество подгрупп в S10(Перестановки из 10 элементов)

Попытки решения
1)Подгруппы порядка 10 циклические, элементы в них могут быть порядков 1,2,5,10. пОДГРУППы ПОРЯДКА 10,порождённой элемнтом пор.10, нигде не может быть. значит, для нахождения находим элементы порядков 2 и 5. сначала 2.пусть их X решаем уравнение 2Xi=0. X=(X1;X2;X3;X4) Итак , в Z2 таких элементов 2 т.е 0 и1; в Z6 2эл. 0, 3; в Z 75 1 элемент,в Z12 их 2. перемножаем, получаем 2*2*1*2=8 элементов, но группа {0}, по которой они пересекаются заведомо не войдёт значит 7 элементов

теперь так же с элементами пор. 5. в Z2 1элемент, в Z6 1 элемент, в Z75 15 эл., в Z12 1 элемент. значит, опять -1 итого 14.
умножаем 14*7=98 элементов порядка 15. Но сколько групп такого порядка, ими порождённых??? у меня в тетради написано(пишу по аналогии.. осталось количество элементов в каждой группе(?) . элементов порядка 1 - 1 шт, 2 тоже одна(2-1=1), 5 4 шт. (5-1) . теперь вычитаем это от 10. т.е. 10-6=4.. теперь для получения результата число 98 надо бы разделить на 4..но в добавок 98 на 4 не делится(((. и частное будет искомым количеством...( в решенном примере была группа $\mathbb Z_4\oplus\mathbb Z_{6}\oplus\mathbb Z_{12}\oplus\mathbb Z_{75}$ найти подгр. 15... Итого так же элементов 3 и 5 было 4*26=104. и делилось это на 15 -1-2-4=8...(???)

2)запишем нам данное как $\mathbb Z_4\oplus\mathbb Z_{8}\oplus\mathbb Z_{3}$

и подгруппами будут подгруппы соответственно групп Z8, Z3, Z4. Z4xZ3 изоморфно Z12. Значит, добавляется ещё подгруппы групп Z6 и Z12. Z3xZ8 изом. Z24, значит ещё подгр. 24.
3)Делается по теореме, что порядок подстановки равен НОКу длин всех его циклов? т.е.надо найти все подстановки с разложением в циклы длиной 5 и 1, 5 и 5, 5,5,1? но как подсчитать их количество

помогите,пожалуйста... Заранее благодарю.

[Someone]

Алина:) в сообщении #169824 писал(а):

Z4xZ24 x-знак прямой суммы..

$\mathbb Z_4\oplus\mathbb Z_{24}$

Я правильно понял?

$\mathbb Z_4\oplus\mathbb Z_{24}$

Теперь постарайтесь остальные написать по образу и подобию...

[Trotil]

По третьей задаче наткнулся вот на это: http://schmidt.nuigalway.ie/subgroups/alt.html

Хм, неужели эта задачка решается за тривиальное время?
Можно искать силовские p-подгруппы, но это тоже нетривиальное занятие.

[AndreyXYZ]

Алина:) в сообщении #169824 писал(а):

2)$\mathbb Z_4\oplus\mathbb Z_{24}$ найти все подгруппы

Предлагаю своё решение. Чисто на интуитивном уровне.

$$\mathbb{Z}_4 \cong \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$$

--- верно?
Если да, то запишем следующее:

$$G=\mathbb{Z}_4 \oplus \mathbb{Z}_{24} \cong \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_3$$

Тогда имеем подгруппы, изоморфные подгруппам в левой колонке:

$$\begin{tabular}[t]{|c|c|} \hline Подгруппа & Количество \\ \hline $e$ & $1$ \\ $\mathbb{Z}_2$ & $5$ \\ $\mathbb{Z}_4$ & $5 \choose 2$ \\ $\mathbb{Z}_8$ & $5 \choose 3$\\ $\mathbb{Z}_{16}$ & $5 \choose 4$\\ $\mathbb{Z}_{32}$ & $1$\\ $\mathbb{Z}_3$ & $1$ \\ $\mathbb{Z}_6$ & $5$ \\ $\mathbb{Z}_{12}$ & $5 \choose 2$ \\ $\mathbb{Z}_{24}$ & $5 \choose 3$\\ $\mathbb{Z}_{48}$ & $5 \choose 4$\\ $\mathbb{Z}_{96}$ & $1$\\ \hline \end{tabular}$$

Итого: $2\cdot 2^5$ подгрупп.

[ИСН]

Как раз здесь-то на интуитивном уровне ("дважды два четыре") далеко не уедешь...

[AndreyXYZ]

Да, действительно, я ошибся. Тогда такой вопрос: какие подгруппы имеет группа $\mathbb{Z}_4$, кроме группы из одного элемента и её самой?
$\mathbb{Z}_2<\mathbb{Z}_4$, верно?

[Алина:)]

Z4 вроде не изоморфно Z2xZ2....

[Taras]

конечно нет!
Вы можете Z2xZ2 выбрать елемент порядка 4??

[Профессор Снэйп]

AndreyXYZ писал(а):

$\mathbb{Z}_2<\mathbb{Z}_4$, верно?

Да, это верно. В $\mathbb{Z}_4$ действительно имеется подгруппа, изоморфная $\mathbb{Z}_2$.

Вообще, все подгруппы в $\mathbb{Z}_n$ --- это (с точностью до изоморфизма) группы $\mathbb{Z}_m$, где $m$ --- делитель $n$.

[AndreyXYZ]

Ясно. Начинаю понимать. Следующий вопрос. В

$$\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$$

одна или три подгруппы

$$\mathbb{Z}_2$$

? Мы хотим найти вообще все подгруппы или все подгруппы с точностью до изоморфизма?
Если расписать, то видно, что имеется три изоморфных подгруппы:

$$\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2=\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}$$

$$G_1=\{(0,0),(0,1)\} < \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$$

$$G_2=\{(0,0),(1,0)\} < \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$$

$$G_3=\{(0,0),(1,1)\} < \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$$

$$G_1 \cong G_2 \cong G_3 \cong \mathbb{Z}_2$$

[Алина:)]

немного отхожу от обсуждаемого.
в любом ли случае $\mathbb Z_n\oplus\mathbb Z_{m}$ такая подгруппа изоморфна НОД m И n

[bot]

Алина:) писал(а):

немного отхожу от обсуждаемого.
в любом ли случае $\mathbb Z_n\oplus\mathbb Z_{m}$ такая подгруппа изоморфна НОД m И n

Вы сами-то поняли, что спросили? Какая "такая"?
Может быть Вы хотели спросить, существует ли в $\mathbb Z_n\oplus\mathbb Z_{m}$ подгруппа изоморфная $\mathbb Z_d$, где $d$ - НОД чисел m и n?
Ответ положителен, поскольку в $\mathbb Z_n\oplus\mathbb Z_{m}$ есть элемент, порядок которого равен НОК чисел m и n, а следовательно и любому делителю этого НОК.

[Алина:)]

да.. именно то и хотела спросить