2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теория групп подгруппы
Сообщение21.12.2008, 23:48 


20/12/08
50
я не понимаю теорию групп,а задачи решать надо... ниже я привожу свои попытки решить задачи..

задачи
1)$\mathbb Z_2\oplus\mathbb Z_{6}\oplus\mathbb Z_{12}\oplus\mathbb Z_{75}$ найти подгруппы порядка 10
2)$\mathbb Z_4\oplus\mathbb Z_{24}$ найти все подгруппы
3)количество подгрупп в S10(Перестановки из 10 элементов)

Попытки решения
1)Подгруппы порядка 10 циклические, элементы в них могут быть порядков 1,2,5,10. пОДГРУППы ПОРЯДКА 10,порождённой элемнтом пор.10, нигде не может быть. значит, для нахождения находим элементы порядков 2 и 5. сначала 2.пусть их X решаем уравнение 2Xi=0. X=(X1;X2;X3;X4) Итак , в Z2 таких элементов 2 т.е 0 и1; в Z6 2эл. 0, 3; в Z 75 1 элемент,в Z12 их 2. перемножаем, получаем 2*2*1*2=8 элементов, но группа {0}, по которой они пересекаются заведомо не войдёт значит 7 элементов

теперь так же с элементами пор. 5. в Z2 1элемент, в Z6 1 элемент, в Z75 15 эл., в Z12 1 элемент. значит, опять -1 итого 14.
умножаем 14*7=98 элементов порядка 15. Но сколько групп такого порядка, ими порождённых??? у меня в тетради написано(пишу по аналогии.. осталось количество элементов в каждой группе(?) . элементов порядка 1 - 1 шт, 2 тоже одна(2-1=1), 5 4 шт. (5-1) . теперь вычитаем это от 10. т.е. 10-6=4.. теперь для получения результата число 98 надо бы разделить на 4..но в добавок 98 на 4 не делится(((. и частное будет искомым количеством...( в решенном примере была группа $\mathbb Z_4\oplus\mathbb Z_{6}\oplus\mathbb Z_{12}\oplus\mathbb Z_{75}$ найти подгр. 15... Итого так же элементов 3 и 5 было 4*26=104. и делилось это на 15 -1-2-4=8...(???)

2)запишем нам данное как $\mathbb Z_4\oplus\mathbb Z_{8}\oplus\mathbb Z_{3}$

и подгруппами будут подгруппы соответственно групп Z8, Z3, Z4. Z4xZ3 изоморфно Z12. Значит, добавляется ещё подгруппы групп Z6 и Z12. Z3xZ8 изом. Z24, значит ещё подгр. 24.
3)Делается по теореме, что порядок подстановки равен НОКу длин всех его циклов? т.е.надо найти все подстановки с разложением в циклы длиной 5 и 1, 5 и 5, 5,5,1? но как подсчитать их количество

помогите,пожалуйста... Заранее благодарю.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.12.2008, 00:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Алина:) в сообщении #169824 писал(а):
Z4xZ24 x-знак прямой суммы..


$\mathbb Z_4\oplus\mathbb Z_{24}$

Я правильно понял?

Код:
$\mathbb Z_4\oplus\mathbb Z_{24}$


Теперь постарайтесь остальные написать по образу и подобию...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.12.2008, 13:32 
Аватара пользователя


31/07/07
161
По третьей задаче наткнулся вот на это: http://schmidt.nuigalway.ie/subgroups/alt.html

Хм, неужели эта задачка решается за тривиальное время?
Можно искать силовские p-подгруппы, но это тоже нетривиальное занятие.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.12.2008, 17:22 
Аватара пользователя


27/10/08
222
Алина:) в сообщении #169824 писал(а):
2)$\mathbb Z_4\oplus\mathbb Z_{24}$ найти все подгруппы

Предлагаю своё решение. Чисто на интуитивном уровне. $$\mathbb{Z}_4 \cong \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$$ --- верно?
Если да, то запишем следующее:
$$G=\mathbb{Z}_4 \oplus \mathbb{Z}_{24} \cong \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_3$$
Тогда имеем подгруппы, изоморфные подгруппам в левой колонке:
$$\begin{tabular}[t]{|c|c|}
\hline
Подгруппа & Количество \\
\hline
$e$ & $1$ \\
$\mathbb{Z}_2$ & $5$ \\
$\mathbb{Z}_4$ & $5 \choose 2$ \\
$\mathbb{Z}_8$ & $5 \choose 3$\\
$\mathbb{Z}_{16}$ & $5 \choose 4$\\
$\mathbb{Z}_{32}$ & $1$\\
$\mathbb{Z}_3$ & $1$ \\
$\mathbb{Z}_6$ & $5$ \\
$\mathbb{Z}_{12}$ & $5 \choose 2$ \\
$\mathbb{Z}_{24}$ & $5 \choose 3$\\
$\mathbb{Z}_{48}$ & $5 \choose 4$\\
$\mathbb{Z}_{96}$ & $1$\\
\hline
\end{tabular}$$
Итого: $2\cdot 2^5$ подгрупп.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.12.2008, 17:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Как раз здесь-то на интуитивном уровне ("дважды два четыре") далеко не уедешь...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.12.2008, 18:31 
Аватара пользователя


27/10/08
222
Да, действительно, я ошибся. Тогда такой вопрос: какие подгруппы имеет группа $\mathbb{Z}_4$, кроме группы из одного элемента и её самой?
$\mathbb{Z}_2<\mathbb{Z}_4$, верно?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.12.2008, 20:55 


20/12/08
50
Z4 вроде не изоморфно Z2xZ2....

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.12.2008, 20:57 
Аватара пользователя


14/10/07
241
Киев, мм
конечно нет!
Вы можете Z2xZ2 выбрать елемент порядка 4?? :shock:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.12.2008, 23:24 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
AndreyXYZ писал(а):
$\mathbb{Z}_2<\mathbb{Z}_4$, верно?


Да, это верно. В $\mathbb{Z}_4$ действительно имеется подгруппа, изоморфная $\mathbb{Z}_2$.

Вообще, все подгруппы в $\mathbb{Z}_n$ --- это (с точностью до изоморфизма) группы $\mathbb{Z}_m$, где $m$ --- делитель $n$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.12.2008, 07:48 
Аватара пользователя


27/10/08
222
Ясно. Начинаю понимать. Следующий вопрос. В $$\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$$ одна или три подгруппы $$\mathbb{Z}_2$$? Мы хотим найти вообще все подгруппы или все подгруппы с точностью до изоморфизма?
Если расписать, то видно, что имеется три изоморфных подгруппы:
$$\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2=\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}$$
$$G_1=\{(0,0),(0,1)\} < \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$$
$$G_2=\{(0,0),(1,0)\} < \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$$
$$G_3=\{(0,0),(1,1)\} < \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$$
$$G_1 \cong G_2 \cong G_3 \cong \mathbb{Z}_2$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.12.2008, 00:09 


20/12/08
50
немного отхожу от обсуждаемого.
в любом ли случае $\mathbb Z_n\oplus\mathbb Z_{m}$ такая подгруппа изоморфна НОД m И n

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.12.2008, 07:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Алина:) писал(а):
немного отхожу от обсуждаемого.
в любом ли случае $\mathbb Z_n\oplus\mathbb Z_{m}$ такая подгруппа изоморфна НОД m И n

Вы сами-то поняли, что спросили? Какая "такая"?
Может быть Вы хотели спросить, существует ли в $\mathbb Z_n\oplus\mathbb Z_{m}$ подгруппа изоморфная $\mathbb Z_d$, где $d$ - НОД чисел m и n?
Ответ положителен, поскольку в $\mathbb Z_n\oplus\mathbb Z_{m}$ есть элемент, порядок которого равен НОК чисел m и n, а следовательно и любому делителю этого НОК.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.12.2008, 17:43 


20/12/08
50
да.. именно то и хотела спросить

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group