2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Теория групп подгруппы
Сообщение21.12.2008, 23:48 
я не понимаю теорию групп,а задачи решать надо... ниже я привожу свои попытки решить задачи..

задачи
1)$\mathbb Z_2\oplus\mathbb Z_{6}\oplus\mathbb Z_{12}\oplus\mathbb Z_{75}$ найти подгруппы порядка 10
2)$\mathbb Z_4\oplus\mathbb Z_{24}$ найти все подгруппы
3)количество подгрупп в S10(Перестановки из 10 элементов)

Попытки решения
1)Подгруппы порядка 10 циклические, элементы в них могут быть порядков 1,2,5,10. пОДГРУППы ПОРЯДКА 10,порождённой элемнтом пор.10, нигде не может быть. значит, для нахождения находим элементы порядков 2 и 5. сначала 2.пусть их X решаем уравнение 2Xi=0. X=(X1;X2;X3;X4) Итак , в Z2 таких элементов 2 т.е 0 и1; в Z6 2эл. 0, 3; в Z 75 1 элемент,в Z12 их 2. перемножаем, получаем 2*2*1*2=8 элементов, но группа {0}, по которой они пересекаются заведомо не войдёт значит 7 элементов

теперь так же с элементами пор. 5. в Z2 1элемент, в Z6 1 элемент, в Z75 15 эл., в Z12 1 элемент. значит, опять -1 итого 14.
умножаем 14*7=98 элементов порядка 15. Но сколько групп такого порядка, ими порождённых??? у меня в тетради написано(пишу по аналогии.. осталось количество элементов в каждой группе(?) . элементов порядка 1 - 1 шт, 2 тоже одна(2-1=1), 5 4 шт. (5-1) . теперь вычитаем это от 10. т.е. 10-6=4.. теперь для получения результата число 98 надо бы разделить на 4..но в добавок 98 на 4 не делится(((. и частное будет искомым количеством...( в решенном примере была группа $\mathbb Z_4\oplus\mathbb Z_{6}\oplus\mathbb Z_{12}\oplus\mathbb Z_{75}$ найти подгр. 15... Итого так же элементов 3 и 5 было 4*26=104. и делилось это на 15 -1-2-4=8...(???)

2)запишем нам данное как $\mathbb Z_4\oplus\mathbb Z_{8}\oplus\mathbb Z_{3}$

и подгруппами будут подгруппы соответственно групп Z8, Z3, Z4. Z4xZ3 изоморфно Z12. Значит, добавляется ещё подгруппы групп Z6 и Z12. Z3xZ8 изом. Z24, значит ещё подгр. 24.
3)Делается по теореме, что порядок подстановки равен НОКу длин всех его циклов? т.е.надо найти все подстановки с разложением в циклы длиной 5 и 1, 5 и 5, 5,5,1? но как подсчитать их количество

помогите,пожалуйста... Заранее благодарю.

 
 
 
 
Сообщение22.12.2008, 00:07 
Аватара пользователя
Алина:) в сообщении #169824 писал(а):
Z4xZ24 x-знак прямой суммы..


$\mathbb Z_4\oplus\mathbb Z_{24}$

Я правильно понял?

Код:
$\mathbb Z_4\oplus\mathbb Z_{24}$


Теперь постарайтесь остальные написать по образу и подобию...

 
 
 
 
Сообщение23.12.2008, 13:32 
Аватара пользователя
По третьей задаче наткнулся вот на это: http://schmidt.nuigalway.ie/subgroups/alt.html

Хм, неужели эта задачка решается за тривиальное время?
Можно искать силовские p-подгруппы, но это тоже нетривиальное занятие.

 
 
 
 
Сообщение23.12.2008, 17:22 
Аватара пользователя
Алина:) в сообщении #169824 писал(а):
2)$\mathbb Z_4\oplus\mathbb Z_{24}$ найти все подгруппы

Предлагаю своё решение. Чисто на интуитивном уровне. $$\mathbb{Z}_4 \cong \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$$ --- верно?
Если да, то запишем следующее:
$$G=\mathbb{Z}_4 \oplus \mathbb{Z}_{24} \cong \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_3$$
Тогда имеем подгруппы, изоморфные подгруппам в левой колонке:
$$\begin{tabular}[t]{|c|c|}
\hline
Подгруппа & Количество \\
\hline
$e$ & $1$ \\
$\mathbb{Z}_2$ & $5$ \\
$\mathbb{Z}_4$ & $5 \choose 2$ \\
$\mathbb{Z}_8$ & $5 \choose 3$\\
$\mathbb{Z}_{16}$ & $5 \choose 4$\\
$\mathbb{Z}_{32}$ & $1$\\
$\mathbb{Z}_3$ & $1$ \\
$\mathbb{Z}_6$ & $5$ \\
$\mathbb{Z}_{12}$ & $5 \choose 2$ \\
$\mathbb{Z}_{24}$ & $5 \choose 3$\\
$\mathbb{Z}_{48}$ & $5 \choose 4$\\
$\mathbb{Z}_{96}$ & $1$\\
\hline
\end{tabular}$$
Итого: $2\cdot 2^5$ подгрупп.

 
 
 
 
Сообщение23.12.2008, 17:25 
Аватара пользователя
Как раз здесь-то на интуитивном уровне ("дважды два четыре") далеко не уедешь...

 
 
 
 
Сообщение23.12.2008, 18:31 
Аватара пользователя
Да, действительно, я ошибся. Тогда такой вопрос: какие подгруппы имеет группа $\mathbb{Z}_4$, кроме группы из одного элемента и её самой?
$\mathbb{Z}_2<\mathbb{Z}_4$, верно?

 
 
 
 
Сообщение23.12.2008, 20:55 
Z4 вроде не изоморфно Z2xZ2....

 
 
 
 
Сообщение23.12.2008, 20:57 
Аватара пользователя
конечно нет!
Вы можете Z2xZ2 выбрать елемент порядка 4?? :shock:

 
 
 
 
Сообщение23.12.2008, 23:24 
Аватара пользователя
AndreyXYZ писал(а):
$\mathbb{Z}_2<\mathbb{Z}_4$, верно?


Да, это верно. В $\mathbb{Z}_4$ действительно имеется подгруппа, изоморфная $\mathbb{Z}_2$.

Вообще, все подгруппы в $\mathbb{Z}_n$ --- это (с точностью до изоморфизма) группы $\mathbb{Z}_m$, где $m$ --- делитель $n$.

 
 
 
 
Сообщение24.12.2008, 07:48 
Аватара пользователя
Ясно. Начинаю понимать. Следующий вопрос. В $$\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$$ одна или три подгруппы $$\mathbb{Z}_2$$? Мы хотим найти вообще все подгруппы или все подгруппы с точностью до изоморфизма?
Если расписать, то видно, что имеется три изоморфных подгруппы:
$$\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2=\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}$$
$$G_1=\{(0,0),(0,1)\} < \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$$
$$G_2=\{(0,0),(1,0)\} < \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$$
$$G_3=\{(0,0),(1,1)\} < \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$$
$$G_1 \cong G_2 \cong G_3 \cong \mathbb{Z}_2$$

 
 
 
 
Сообщение25.12.2008, 00:09 
немного отхожу от обсуждаемого.
в любом ли случае $\mathbb Z_n\oplus\mathbb Z_{m}$ такая подгруппа изоморфна НОД m И n

 
 
 
 
Сообщение25.12.2008, 07:24 
Аватара пользователя
Алина:) писал(а):
немного отхожу от обсуждаемого.
в любом ли случае $\mathbb Z_n\oplus\mathbb Z_{m}$ такая подгруппа изоморфна НОД m И n

Вы сами-то поняли, что спросили? Какая "такая"?
Может быть Вы хотели спросить, существует ли в $\mathbb Z_n\oplus\mathbb Z_{m}$ подгруппа изоморфная $\mathbb Z_d$, где $d$ - НОД чисел m и n?
Ответ положителен, поскольку в $\mathbb Z_n\oplus\mathbb Z_{m}$ есть элемент, порядок которого равен НОК чисел m и n, а следовательно и любому делителю этого НОК.

 
 
 
 
Сообщение28.12.2008, 17:43 
да.. именно то и хотела спросить

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group