минимум функции

[makxsiq]

Определим комплекснозначные многочлены $P$ и $\bar{P}$

$$P=(e^{-i\theta}-x_1)(e^{-i\theta}-x_2)...(e^{-i\theta}-x_n)$$

$$\bar{P}=(e^{i\theta}-x_1)(e^{i\theta}-x_2)...(e^{i\theta}-x_n)$$

где $x_1,...,x_n \in [-1,1]$, $\theta \in [0,\pi]$.
Определим функцию $f(x_1,...,x_n)\,:\,[-1,1]^n\to R$

$$f(x_1,...,x_n) = \int \limits_0^{\pi} \left| \dfrac{P - \bar{P}}{2i} \right| \, d\theta $$

Хотелось бы доказать, что $f(x_1,...,x_n) \ge 2$.
Что касается попыток решения.
Несложно видеть, что

$$f(0,...,0) = \int \limits_0^{\pi} |\sin(\theta n)|\, d\theta = 2$$

С некоторыми натяжками, я могу показать, что в точке $(0,...,0)$ выполняются необходимые условия экстремума, а именно $\forall i$

$$\left. \dfrac{\partial f(x_1,...,x_n)}{\partial x_i} \right|_{x=(0,...,0)} = \int \limits_0^{\pi} sgn(-\sin(\theta n)) \, \sin(\theta (n-1)) \, d\theta = 0$$

[makxsiq]

Ende не хотите перенести в раздел Олимпиадные задачи?

(Оффтоп)

решение

[Ende]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Олимпиадные задачи (М)»
Причина переноса: в подходящий раздел.