Предел функции

[matan]

Попробуйте использовать асимптотические разложения

[Мироника]

matan писал(а):

Попробуйте использовать асимптотические разложения

Можно поподробнее?

Добавлено спустя 1 минуту 31 секунду:

Еще проблема в том, что именно преподаватель сказал умножать на сопряженное... так что без этого не желательно....

Добавлено спустя 7 минут 4 секунды:

Мироника в сообщении #169317 писал(а):

$\lim \limits _{x \to 0}\frac {\sqrt {\frac {e^x -1} {e^x}} - \sqrt 2 \sin \frac x 2} {\sqrt {\sin x}}=\lim \limits _{x \to 0} \frac {\sqrt {\frac {e^x -1} {x}} -\sqrt 2 \sin \frac x 2} {\sqrt {e^x} \sqrt {\sin x}}=\lim \limits _{x \to 0} \frac {1-\sqrt 2 \sin \frac x 2} {\sqrt {e^x} \sqrt {\sin x}}$

$=\lim \limits _ {x \to 0} \frac {1-\sqrt 2 \cdot \frac x 2} {\sqrt {e^x} \sqrt x} = \lim \limits _{x \to 0} \frac {1-\sqrt {\frac x 2}} {\sqrt {e^x}}=1$
?

[Brukvalub]

\[\sqrt {1 - e^{ - x} } = \sqrt {1 - 1 + x + \bar o(x)} = \sqrt x + \bar o(\sqrt x )\;;\;\sqrt {1 - \cos x} = \sqrt {1 - 1 + \frac{{x^2 }}{2} + \bar o(x^2 )} = \bar o(\sqrt x ) \]

Ну, и дальше в таком же духе, в таком же разрезе.

[Мироника]

Brukvalub писал(а):

\[\sqrt {1 - e^{ - x} } = \sqrt {1 - 1 + x + \bar o(x)} = \sqrt x + \bar o(\sqrt x )\;;\;\sqrt {1 - \cos x} = \sqrt {1 - 1 + \frac{{x^2 }}{2} + \bar o(x^2 )} = \bar o(\sqrt x ) \]

Ну, и дальше в таком же духе, в таком же разрезе.

Думаю, что это тут, к сожалению, не предполагалось....
Может можно все-таки продолжить с умножением на сопряженное?

[Brukvalub]

Мироника в сообщении #169332 писал(а):

Может можно все-таки продолжить с умножением на сопряженное?

Трудно советовать, если не знаешь арсенала допустимых средств.

[maxal]

Мироника, не дублируйте темы. Ваши темы "Предел" объединяю в одну.

[Мироника]

maxal в сообщении #169341 писал(а):

Ваши темы "Предел" объединяю в одну.

жаль....
но я исправлюсь....

[ewert]

Мироника в сообщении #169327 писал(а):

Еще проблема в том, что именно преподаватель сказал умножать на сопряженное... так что без этого не желательно....

"Пятачок, я понял: наверное, это неправильные преподаватели и они несут неправильный мёд!" $\copyright$

Домножать на сопряжённые имеет смысл ровно тогда, когда вычитаются эквивалентные друг другу бесконечно малые. У Вас же они мало того что не эквивалентны, но даже разного порядка. Так что эта процедура никакой пользы, кроме вреда, не принесёт.

Вернитесь к своему первому побуждению (оно же и наиболее правильное) -- разбейте дробь на разность двух дробей. Во второй Вы уже опознали ноль, и это хорошо. А первая дробь, если самую малость приглядеться -- корень из отношения двух замечательных пределов.

[Мироника]

ewert в сообщении #169359 писал(а):

А первая дробь, если самую малость приглядеться -- корень из отношения двух замечательных пределов.

Да, спасибо, это я уже разглядела. Видно так и следует поступить. Просто меня очень смущало замечание преподавателя, очень хотелось это замечание сюда прилепить.... но теперь становится ясно, что это ни к чему... Спасибо всем огромное

[ewert]

У всех преподавателей бывают бздыки. Но: если оные преподаватели разумны, то на собственных бздыках они не зацикливаются и, напротив, с удовольствием воспринимают свежие версии от скубентов.

[Cave]

Мироника
Ответ получился верный, но вывод неправильный. Если по-крупному, то там просто странные преобразования дроби (проверьте их). По мелочи ещё такое замечание: $\sqrt{1 - \cos x} = \sqrt 2 |\sin \frac x 2|$ - этот модуль может быть существенным, так как, например, предел $\lim\limits_{x\to 0} \frac {\sqrt{1 - \cos x}} x$ не существует (а вы бы его сосчитали равным единице).

Разумнее, на мой взгляд, поделить числитель и знаменатель на $\sqrt x$ (почему на него - отдельный вопрос; надо увидеть) и со всеми по отдельности разобраться - с двумя дробями в числителе и со знаменателем.

[ewert]

Cave писал(а):

Мироника По мелочи ещё такое замечание: $\sqrt{1 - \cos x} = \sqrt 2 |\sin \frac x 2|$ - этот модуль может быть существенным, так как, например, предел $\lim\limits_{x\to 0} \frac {\sqrt{1 - \cos x}} x$ не существует (а вы бы его сосчитали равным единице).

Мелочь не по делу: по условию задачи подразумевается, что предел нужно брать при $x\to+0.$

[Cave]

ewert
Согласен, но считаю, что комментарий по этому пункту должен быть сделан.
Если в решении написать предел с правильной стороны, тогда я, человек сторонний, прочитаю его правильно. А так я взял его (решение) с середины и увидел там незаконный переход.

[Nicholas]

Так и не дорешал я свой предел
$\lim \limits_{x \to 0} \frac {\ln \frac {\tg (2x+x^3) - \th {(x+2x^3)}} {x}} {\sqrt[3] {1+x^3} - \sqrt {1+x^2}}$
в предыдущем сообщении я кубический корень не написал
В общем,
$\tg(2x+x^3)=2x+x^3+o(x^3)$ и $\th(x+2x^3)=x+2x^3+o(x^3)$
$\ln \frac {2x+x^3+o(x^3)-x-2x^3+o(x^3)} {x}= \ln \frac {x-x^3+o(x^3)} {x} = \ln (1-x^2+o(x^2))$
т.о. числитель $-x^2-\frac{x^4}2-\frac{x^6}3+o(x^6)$

знаменатель получается
$1+\frac13x^3-\frac19x^6+o(x^6)-1-\frac12x^2+\frac18x^4-\frac1{16}x^6+o(x^6)=-\frac12x^2+\frac13x^3+\frac18x^4-\frac{25}{144}x^6+o(x^6)$
и как найти предел $\lim \limits_{x \to 0} \frac {-x^2-\frac{x^4}2-\frac{x^6}3+o(x^6)}{-\frac12x^2+\frac13x^3+\frac18x^4-\frac{25}{144}x^6+o(x^6)}$?

[ewert]

Nicholas писал(а):

$\tg(2x+x^3)=2x+x^3+o(x^3)$ и $\th(x+2x^3)=x+2x^3+o(x^3)$

Это неверно, причём принципиально: у Вас поправки не $o(x^3)$, а $O(x^3)$, т.е. какая-либо конкретная информация о поведении третьих степеней потеряна, а ведь именно они-то и существенны.

Следует раскладывать тангенсы до третьего порядка включительно (так, чтобы поправки оценивались как $O(x^5)$). Для этого нужно честно выписывать вторые члены формулы Тейлора для тангенсов (учитывая в них, впрочем, только главные составляющие).

Вот почему и не люблю обозначение "о-маленькое", от которого столь многие в таком экстазе: вечно с толку сбивает, особенно кто с детства не привык...

Nicholas писал(а):

$... = \ln (1-x^2+o(x^2))$
т.о. числитель $-x^2-\frac{x^4}2-\frac{x^6}3+o(x^6)$

Ровно по тем же причинам неверно: раз на входе удержан только главный член, то и на выходе невозможно получить ничего более конкретного, чем $-x^2+O(x^4)$ (а в Вашем варианте записи -- так и вовсе не более чем $-x^2+o(x^2)$).

------------------------------------
Последний вопрос -- "и как найти предел" -- неприличен: берём и молча находим. Кстати, там и неприлично много слагаемых удержано: большинство поглощается предыдущими.