Если "имеющая конечные пределы во всех точках [0, 1]" следует понимать как то, что

имеет конечные пределы слева и справа во всех точках

, а на границе - слева или справа соответственно, то

может иметь только разрывы первого рода.
Множество точек, в которых

имеет разрыв первого рода, не более чем счетно.
Доказательство - от противного. Допустите, что их несчетное число. Пусть
- колебание

в точке

, a

- множество точек разрыва ( т.е. тех

, где

). Тогда
![$A = \bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i, A_i = \{x \in [0,1]: w_f(x)>\frac 1 i\}$ $A = \bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i, A_i = \{x \in [0,1]: w_f(x)>\frac 1 i\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/9/6794aae7fa5fe114a389440d557fffb982.png)
.
Так как

несчетно, то несчетно хотя бы одно из

. Тогда у

будет неизолированная точка

, выбираем последовательность

.
Ну а дальше чисто техническое задание доказать, что тогда в

будет разрыв второго рода.