функция, пределы и число точек разрыва

[Hukku]

Всем привет! Помогите плиззз... Надо доказать, что, если функция $f: [0, 1]\to\mathbb R$ имеющая конечные пределы во всех точках $[0, 1]$, то она не может быть разрывной на несчетном подмножестве $[0, 1]$...

[id]

Если "имеющая конечные пределы во всех точках [0, 1]" следует понимать как то, что $f$ имеет конечные пределы слева и справа во всех точках $(0,1)$, а на границе - слева или справа соответственно, то $f$ может иметь только разрывы первого рода.

Множество точек, в которых $f$ имеет разрыв первого рода, не более чем счетно.

Доказательство - от противного. Допустите, что их несчетное число. Пусть
$w_f(x) = \lim\limits_{\delta \to 0}{(\sup \limits_{|y-x|<\delta}f(y) - \inf \limits_{|y-x|<\delta}f(y))}$
- колебание $f$ в точке $x$, a $A$ - множество точек разрыва ( т.е. тех $x$, где $w_f(x) >0$ ). Тогда $A = \bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i, A_i = \{x \in [0,1]: w_f(x)>\frac 1 i\}$.
Так как $A$ несчетно, то несчетно хотя бы одно из $A_i = A_n$. Тогда у $A_n$ будет неизолированная точка $x_0$, выбираем последовательность $\{x_i\}_{i=1}^\infty \subset A_n, \lim x_i = x_0$.
Ну а дальше чисто техническое задание доказать, что тогда в $x_0$ будет разрыв второго рода.

[Someone]

Пусть $n\in\mathbb N$ ($\mathbb N=\{1,2,3,4,\ldots\}$ - натуральный ряд). Обозначим
\begin{multline*}U_n=\{x\in[0,1]:\text{ существует такое }\delta>0\text{, что для всех }y\in(x-\delta,x+\delta)\cap[0,1]\\ \text{ выполняется неравенство }|fx-fy|<\frac 1n\}\text{.}\end{multline*}
Докажите, что
1) функция непрерывна во всех точках множества

$$C=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}U_n\text{;}$$

2) множество $D_n=[0,1]\setminus U_n$ конечно для каждого $n\in\mathbb N$ (указание: использовать определение предела с $\varepsilon=\frac 1{2n}$).

P.S. А слабо записать формулы в \TeXе? Ведь модератор прицепится и загонит тему в "Карантин" раньше, чем мы с Вами во всём разберёмся.

[Hukku]

id: Получается, что мы выбрали $x_0$ так, что существует такое $\delta$, что $O_\delta$ $(x_0)$ содержится в $A_n$ и для любых $x_i$ из этой окресности
$w_f(x_i)>\frac{1}{n}$, т.е. $w_f(x_i) \subset O_n (+ \propto)$, но разве из этого следует, что $f(x_i)\subset O_n (\propto)$?

[id]

Hukku
Нет. $O_\delta(x_0)$ совсем не обязано целиком содержаться в $A_n$ ( как видно из результата этой задачи, и не может даже).

Идея в том, что мы выбрали $x_0 \in A_n: \forall U(x_0)$ $U(x_0) \cap A_n$ содержит точки, отличные от $x_0$. Тогда можно выбрать из них сходящуюся последовательность $x_i \to x_0$. Выберем из нее подпоследовательность, лежащую строго слева (или справа), чтобы доказать отсутствие одного из пределов. Допустим, справа.
После этого для каждого $x_i$ выбираем две точки $x_i',x_i''$ так, что $| f(x_i') - f(x_i'') | > \frac 1 {2n}$ ( исходя из того, что $w_f(x_i) > \frac 1 n$). При этом $x_i', x_i'' \to x_0$.

Теперь осталось доказать только то, что предела справа не существует, используйте две построенные последовательности $x_i', x_i''$.

[Hukku]

id:
простите меня глупую, но мы выбираем подпоследовательность справо от чего??? Может Вы имеете ввиду, что $x_i>x_0$?

[Someone]

Справа от точки $x_0$. И сходящуюся к $x_0$. А если вдруг такой подпоследовательности не существует, то существует слева.

[Hukku]

а $x_i'$ u $x_i''$ тоже лежат справо от $x_0$?

[Someone]

Заведомо можно выбрать с той же стороны, что и $x_i$.

[id]

Hukku
Справа от $x_0$.
Вообще, нужно доказать, что ( в противоречии с исходным утверждением о том, что есть разрывы только первого рода ) у функции будет хотя бы один разрыв второго рода, если она разрывна на несчетном множестве $A \subset [0,1]$.
Выбрали $x_i \to x_0$. Теперь нужно доказать, что хотя бы один из пределов ( слева или справа ) не существует. Или слева от $x_0$, или справа от него лежит бесконечное число членов последовательности $x_i$. Их и берем, и допустим, что они были справа ( это роли не играет ).
Теперь просто доказываем, что в таком случае справа у функции $f(x)$ не будет предела. Т.е. не существует $\lim\limits_{x \to x_0+0} f(x)$.

Да, тоже справа ( так как $\delta \to 0$ в определении колебания функции $w_f(x)$).

Впрочем, на это все уже ответил Someone

[Hukku]

а как мы выбираем $x_i' и x_i''$? просто тыкаем в " точки у которых выполняется свойство?

[id]

Достаточно, что их можно выбрать как угодно близкими к $x_i$, чтобы вместе с $x_i$ обе $x_i',x_i''$ сходились к $x_0$. Это можно сделать исходя из определения $w_f(x)$.

[Норберт]

В книге Рудина Основы математического анализа Глава 4 задача 4. Там описан более наивный способ доказательства.

[xaxa3217]

Док-во там работает только для монотонных функций. В данном случае разбиение на не более чем счетное число интервалов монотонности равносильно исходной задаче, например если функция будет убывать до разрыва, а потом скакнет вверх, то разбить отрезок нужным образом так просто не удастся.

[Hukku]

id писал(а):

Hukku
Теперь просто доказываем, что в таком случае справа у функции $f(x)$ не будет предела. Т.е. не существует $\lim\limits_{x \to x_0+0} f(x)$.

Я наверное крайне глупый человек...это доказать я не могу...