2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Другие трудности с пониманием тензора
Сообщение31.05.2025, 10:09 
Аватара пользователя


26/05/12
1921
приходит весна?
Gyros, я думаю, что попытка въехать в тензоры через всякие линейные операторы и билинейные формы может привести к заблуждениям (коварным и лукавым). Да, все эти объекты линейной алгебры являются тензорами, да тензоры возникают при попытках линеаризации нелинейных функций (типа градиента, более продвинутые вещи типа матрицы Гёссе — тоже тензоры). Однако, тензоры являются более общим объектом, они вполне себе могут быть нелинейными функциями координат (или какой-либо другой параметризации). Простейший пример: тензор инерции и теорема Гюйгенса-Штейнера. Более "продвинутым" и, соответственно, сложным будут тензоры, возникающие в ОТО.

По этой причине надо зрить в корень: тензор — это некий математический объект, привязанный к пространству (которое в малой окрестности точки линейное, но, вообще говоря, вполне себе может быть нелинейным), этот объект характеризуется массивом чисел (в общем случае произвольной размерности), причём эти числа зависят от базиса в котором этот тензор рассматривается, при этом ВНИМАНИЕ!!! при смене базиса пространства эти числа преобразуются по определенному закону. Именно этот закон преобразования, являющийся линейным (и учитывающий тип индексов тензора: верхний или нижний, ковариантный или контрвариантный) и делает тензор тензором. Именно этот закон преобразования позволяет строить новый тензор из двух других путём свёртки по индексам разного типа: за счёт закона преобразования прямая и обратные матрицы перехода сокращаются, поэтому результат получается независим от выбора базиса, в котором произведена свёртка (прежде чем был осуществлён переход к некоторому контрольному базису, в котором все результаты будут сравниваться). Это то главное свойство, которое тензоры наследуют от матриц, являясь их "духовным" обобщением.

Стоит так же заметить, что ортогональные базисы и переходы между ними частично маскируют различие в природе ковариантных и контрвариантных индексов тензора. Это связано с тем, что матрицы перехода между такими базисами являются ортогональными (или унитарными в комплексном случае), а обратная к такой матрице получается из неё самой транспонированием (эрмитовым сопряжением в комплексном случае). И только в случае произвольных не ортонормированных базисов для нахождения обратной матрицы нужно её честно считать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трудности с пониманием тензора
Сообщение31.05.2025, 10:31 


21/12/16
1752
B@R5uk в сообщении #1688272 писал(а):
матрицы Гёссе — тоже тензоры

Корректная версия этого заявления могла бы звучать так. Пусть на гладком многообразии $M$ c локальными координатами $x=(x^1,\ldots,x^m)$ задана гладкая функция $f:M\to\mathbb{R}$.
Предположим, что $x_0$ -- критическая точка: $df(x_0)=0$. Тогда набор чисел$\frac{\partial^2f}{\partial x^i\partial x^j}(x_0)$ является координатами двухвалентного ковариантного тензора в пространстве $T_{x_0}M$.

-- 31.05.2025, 11:41 --

B@R5uk в сообщении #1688272 писал(а):
я думаю, что попытка въехать в тензоры через всякие линейные операторы и билинейные формы может привести к заблуждениям

а попытки свалить в одну кучу алгебраическую теорию тензоров и дифференциально-геометрическую (особенно в столь дикой версии как у Вас) могут привести к еще большим заблуждениям

 Профиль  
                  
 
 Re: Трудности с пониманием тензора
Сообщение31.05.2025, 11:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2467
МО
drzewo
Или производные брать ковариантные, предварительно указав какую-то связность.
А так, да, считать матрицу вторых производных скаляра тензором плохая идея.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трудности с пониманием тензора
Сообщение31.05.2025, 11:38 
Аватара пользователя


26/05/12
1921
приходит весна?
drzewo в сообщении #1688276 писал(а):
Предположим, что $x_0$ -- критическая точка...
Не нужно.

Скалярную функцию (и более сложные тоже) в многомерном пространстве раскладывать до второго порядка малости (а так же до больших порядков малости) можно в любой точке, не только в экстремальной. Это ж обобщённый ряд Тейлора, только не просто функции многих переменных, а "хорошей" функции, заданной на "хорошем" множестве. Коэффициентами такого разложения в сумме свёрток как раз будут тензоры с всё возрастающим числом индексов. Ещё один простой и наглядный пример нелинейных (относительно координат) тензоров.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трудности с пониманием тензора
Сообщение31.05.2025, 12:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2467
МО

(Оффтоп)

Цитата:
- Сан Саныч, как вы думаете, эти ягоды есть можно?
- Можно, только отравишься...

 Профиль  
                  
 
 Re: Трудности с пониманием тензора
Сообщение31.05.2025, 13:21 


21/12/16
1752
Да, уж. Начинать что-то доказывать -- только портить:)

 Профиль  
                  
 
 Re: Трудности с пониманием тензора
Сообщение31.05.2025, 13:35 
Заслуженный участник


07/08/23
1555
B@R5uk в сообщении #1688282 писал(а):
Коэффициентами такого разложения в сумме свёрток как раз будут тензоры с всё возрастающим числом индексов.

У вас тут путаница. Если смотреть на тензоры как на элементы тензорного представления $\mathrm{GL}(n, \mathbb R)$ (т.е. "тензор — это набор чисел, так-то преобразующихся при линейной замене координат"), то всё в порядке. Но вы говорили про нелинейные замены, когда тензор в точке — это элемент представления группы ростков диффеоморфизмов. А тогда ваше утверждение неверно, как уже говорили.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трудности с пониманием тензора
Сообщение31.05.2025, 19:38 
Аватара пользователя


26/05/12
1921
приходит весна?
dgwuqtj в сообщении #1688300 писал(а):
Но вы говорили про нелинейные замены...
Не, замены координат я везде линейные имел в виду, нелинейными я имею в виду зависимости чисел тензоров от координат (в смысле от точки пространства к точке). А так то да, если для ряда Тейлора параметризацию менять через нелинейную функцию, то это уже ряд Тейлора сложной функции многих переменных будет, и там чёрт ногу сломит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трудности с пониманием тензора
Сообщение31.05.2025, 20:05 


21/12/16
1752
B@R5uk в сообщении #1688318 писал(а):
Не, замены координат я везде линейные имел в виду, нелинейными я имею в виду зависимости чисел тензоров от координат

да, так еще смешнее. По-моему только этой ахинее не место в учебном разделе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Другие трудности с пониманием тензора
Сообщение01.06.2025, 08:24 
Аватара пользователя


26/05/12
1921
приходит весна?
Объясните, пожалуйста: где именно я заблуждаюсь? (Я же где-то ошибся выше, я правильно понял?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Другие трудности с пониманием тензора
Сообщение01.06.2025, 09:10 
Заслуженный участник


07/08/23
1555
Математических ошибок у вас нет. Просто термин «тензор» как правило означает либо алгебраический тензор (элемент тензорного произведения основного пространства $V$ и сопряжённого к нему в каких-то количествах), либо тензорное поле на гладком многообразии (в каждой точке сидит свой тензор, где основным пространством $V$ выступает касательное пространство именно в этой точке). В первом случае нет никаких значений в разных точках, это просто полилинейная форма или набор чисел с правилом действия $\mathrm{GL}(n, \mathbb R)$, кому как привычнее. Во втором случае рассматриваются все гладкие замены координат. И так как эта тема про самые основы, даже только про алгебраический случай, лучше эти вещи не путать.

К тому же (алгебраические) тензоры встречаются не только в дифференциальной геометрии, но и, скажем, в теории представлений. Там уж точно никаких точек нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Другие трудности с пониманием тензора
Сообщение01.06.2025, 10:37 


21/12/16
1752
B@R5uk в сообщении #1688318 писал(а):
замены координат я везде линейные имел в виду, нелинейными я имею в виду зависимости чисел тензоров от координат (в смысле от точки пространства к точке).

Т.е. тензоры от точки на многообразии зависят как угодно, а замены координат я могу брать только линейные. Например, от декартовых координат к полярным на плоскости переходить уже нельзя. Да, это действительно, чушь, и я правильно сделал, что попросил модератора убрать ее из учебного раздела.
dgwuqtj в сообщении #1688355 писал(а):
Математических ошибок у вас нет.

Кроме формально математических ошибок еще есть общий контекст предмета, который желательно немного понимать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Другие трудности с пониманием тензора
Сообщение03.06.2025, 07:49 
Аватара пользователя


26/05/12
1921
приходит весна?
dgwuqtj, спасибо! Не знал, что есть два различных взгляда на тензор.

dgwuqtj в сообщении #1688355 писал(а):
Во втором случае рассматриваются все гладкие замены координат.
Я понял где я заблуждаюсь с рядом Тейлора: только первые производные образуют полноценный тензор при произвольном преобразовании координат (ну, и нулевые тоже). Более высокие производные, не смотря на то, что они преобразуются при линейной замене переменных ведут себя как тензор, таковым не являются, это поведение обманчиво. Это моё очень-очень давнее заблуждение, с первого курса ещё где-то (или когда мы там функцию многих переменных изучали). Ещё раз, спасибо за объяснение!

 Профиль  
                  
 
 Re: Другие трудности с пониманием тензора
Сообщение03.06.2025, 11:02 


21/12/16
1752
А если еще понимать, что понятие "линейная замена координат " вообще не имеет смысла с точки зрения геометрии многообразия, то картина становится вполне завершенной:)

 Профиль  
                  
 
 Re: Другие трудности с пониманием тензора
Сообщение08.06.2025, 10:48 


24/01/09
1430
Украина, Днепр
B@R5uk в сообщении #1688272 писал(а):
этот объект характеризуется массивом чисел
А без задания базиса?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group