Другие трудности с пониманием тензора

[B@R5uk]

Gyros, я думаю, что попытка въехать в тензоры через всякие линейные операторы и билинейные формы может привести к заблуждениям (коварным и лукавым). Да, все эти объекты линейной алгебры являются тензорами, да тензоры возникают при попытках линеаризации нелинейных функций (типа градиента, более продвинутые вещи типа матрицы Гёссе — тоже тензоры). Однако, тензоры являются более общим объектом, они вполне себе могут быть нелинейными функциями координат (или какой-либо другой параметризации). Простейший пример: тензор инерции и теорема Гюйгенса-Штейнера. Более "продвинутым" и, соответственно, сложным будут тензоры, возникающие в ОТО.

По этой причине надо зрить в корень: тензор — это некий математический объект, привязанный к пространству (которое в малой окрестности точки линейное, но, вообще говоря, вполне себе может быть нелинейным), этот объект характеризуется массивом чисел (в общем случае произвольной размерности), причём эти числа зависят от базиса в котором этот тензор рассматривается, при этом ВНИМАНИЕ!!! при смене базиса пространства эти числа преобразуются по определенному закону. Именно этот закон преобразования, являющийся линейным (и учитывающий тип индексов тензора: верхний или нижний, ковариантный или контрвариантный) и делает тензор тензором. Именно этот закон преобразования позволяет строить новый тензор из двух других путём свёртки по индексам разного типа: за счёт закона преобразования прямая и обратные матрицы перехода сокращаются, поэтому результат получается независим от выбора базиса, в котором произведена свёртка (прежде чем был осуществлён переход к некоторому контрольному базису, в котором все результаты будут сравниваться). Это то главное свойство, которое тензоры наследуют от матриц, являясь их "духовным" обобщением.

Стоит так же заметить, что ортогональные базисы и переходы между ними частично маскируют различие в природе ковариантных и контрвариантных индексов тензора. Это связано с тем, что матрицы перехода между такими базисами являются ортогональными (или унитарными в комплексном случае), а обратная к такой матрице получается из неё самой транспонированием (эрмитовым сопряжением в комплексном случае). И только в случае произвольных не ортонормированных базисов для нахождения обратной матрицы нужно её честно считать.

[drzewo]

B@R5uk в сообщении #1688272 писал(а):

матрицы Гёссе — тоже тензоры

Корректная версия этого заявления могла бы звучать так. Пусть на гладком многообразии $M$ c локальными координатами $x=(x^1,\ldots,x^m)$ задана гладкая функция $f:M\to\mathbb{R}$.
Предположим, что $x_0$ -- критическая точка: $df(x_0)=0$. Тогда набор чисел$\frac{\partial^2f}{\partial x^i\partial x^j}(x_0)$ является координатами двухвалентного ковариантного тензора в пространстве $T_{x_0}M$.

-- 31.05.2025, 11:41 --

B@R5uk в сообщении #1688272 писал(а):

я думаю, что попытка въехать в тензоры через всякие линейные операторы и билинейные формы может привести к заблуждениям

а попытки свалить в одну кучу алгебраическую теорию тензоров и дифференциально-геометрическую (особенно в столь дикой версии как у Вас) могут привести к еще большим заблуждениям

[пианист]

drzewo
Или производные брать ковариантные, предварительно указав какую-то связность.
А так, да, считать матрицу вторых производных скаляра тензором плохая идея.

[B@R5uk]

drzewo в сообщении #1688276 писал(а):

Предположим, что $x_0$ -- критическая точка...

Не нужно.

Скалярную функцию (и более сложные тоже) в многомерном пространстве раскладывать до второго порядка малости (а так же до больших порядков малости) можно в любой точке, не только в экстремальной. Это ж обобщённый ряд Тейлора, только не просто функции многих переменных, а "хорошей" функции, заданной на "хорошем" множестве. Коэффициентами такого разложения в сумме свёрток как раз будут тензоры с всё возрастающим числом индексов. Ещё один простой и наглядный пример нелинейных (относительно координат) тензоров.

[пианист]

(Оффтоп)

Цитата:

- Сан Саныч, как вы думаете, эти ягоды есть можно?
- Можно, только отравишься...

[drzewo]

Да, уж. Начинать что-то доказывать -- только портить:)

[dgwuqtj]

B@R5uk в сообщении #1688282 писал(а):

Коэффициентами такого разложения в сумме свёрток как раз будут тензоры с всё возрастающим числом индексов.

У вас тут путаница. Если смотреть на тензоры как на элементы тензорного представления $\mathrm{GL}(n, \mathbb R)$ (т.е. "тензор — это набор чисел, так-то преобразующихся при линейной замене координат"), то всё в порядке. Но вы говорили про нелинейные замены, когда тензор в точке — это элемент представления группы ростков диффеоморфизмов. А тогда ваше утверждение неверно, как уже говорили.

[B@R5uk]

dgwuqtj в сообщении #1688300 писал(а):

Но вы говорили про нелинейные замены...

Не, замены координат я везде линейные имел в виду, нелинейными я имею в виду зависимости чисел тензоров от координат (в смысле от точки пространства к точке). А так то да, если для ряда Тейлора параметризацию менять через нелинейную функцию, то это уже ряд Тейлора сложной функции многих переменных будет, и там чёрт ногу сломит.

[drzewo]

B@R5uk в сообщении #1688318 писал(а):

Не, замены координат я везде линейные имел в виду, нелинейными я имею в виду зависимости чисел тензоров от координат

да, так еще смешнее. По-моему только этой ахинее не место в учебном разделе.

[B@R5uk]

Объясните, пожалуйста: где именно я заблуждаюсь? (Я же где-то ошибся выше, я правильно понял?)

[dgwuqtj]

Математических ошибок у вас нет. Просто термин «тензор» как правило означает либо алгебраический тензор (элемент тензорного произведения основного пространства $V$ и сопряжённого к нему в каких-то количествах), либо тензорное поле на гладком многообразии (в каждой точке сидит свой тензор, где основным пространством $V$ выступает касательное пространство именно в этой точке). В первом случае нет никаких значений в разных точках, это просто полилинейная форма или набор чисел с правилом действия $\mathrm{GL}(n, \mathbb R)$, кому как привычнее. Во втором случае рассматриваются все гладкие замены координат. И так как эта тема про самые основы, даже только про алгебраический случай, лучше эти вещи не путать.

К тому же (алгебраические) тензоры встречаются не только в дифференциальной геометрии, но и, скажем, в теории представлений. Там уж точно никаких точек нет.

[drzewo]

B@R5uk в сообщении #1688318 писал(а):

замены координат я везде линейные имел в виду, нелинейными я имею в виду зависимости чисел тензоров от координат (в смысле от точки пространства к точке).

Т.е. тензоры от точки на многообразии зависят как угодно, а замены координат я могу брать только линейные. Например, от декартовых координат к полярным на плоскости переходить уже нельзя. Да, это действительно, чушь, и я правильно сделал, что попросил модератора убрать ее из учебного раздела.

dgwuqtj в сообщении #1688355 писал(а):

Математических ошибок у вас нет.

Кроме формально математических ошибок еще есть общий контекст предмета, который желательно немного понимать.

[B@R5uk]

dgwuqtj, спасибо! Не знал, что есть два различных взгляда на тензор.

dgwuqtj в сообщении #1688355 писал(а):

Во втором случае рассматриваются все гладкие замены координат.

Я понял где я заблуждаюсь с рядом Тейлора: только первые производные образуют полноценный тензор при произвольном преобразовании координат (ну, и нулевые тоже). Более высокие производные, не смотря на то, что они преобразуются при линейной замене переменных ведут себя как тензор, таковым не являются, это поведение обманчиво. Это моё очень-очень давнее заблуждение, с первого курса ещё где-то (или когда мы там функцию многих переменных изучали). Ещё раз, спасибо за объяснение!

[drzewo]

А если еще понимать, что понятие "линейная замена координат " вообще не имеет смысла с точки зрения геометрии многообразия, то картина становится вполне завершенной:)

[Theoristos]

B@R5uk в сообщении #1688272 писал(а):

этот объект характеризуется массивом чисел

А без задания базиса?