Приведение дробей к общему знаменателю

[ha]

Египтяне складывали дроби, но о привидении к общему знаменателю не знали. Так что если ваш преподаватель знает только один способ записывать и складывать дроби, то это лишь говорит о его ограниченности.

Ответ, которым им, скорее всего, подразумевался состоит в том, что дробь a/b означает a-тое количество b-тых частей. Соотвественно складывать количества мы можем только у одинаковых частей. А части одинаковы, если у дробей одинаковый знаменатель. Поскольку любые 2 дроби можно легко привести к общему знаменателю, то так и поступают.

[Апофеоз Здравого Смысла]

Может быть преподаватель хочет получить ответ, что приведение к общему знаменателю является процедурой хорошей, но вовсе не обязательной.
А может быть его просто понесла нелегкая...

[Посторонний]

ЛитвиненкоВ. писал(а):

ПОЧЕМУ при сложении дробей с разными знаменателями их необходимо приводить к общему знаменателю?

P.S. На это вопрос не смог ответить ни один преподаватель КубГУ

Для сложения дробей нет никакой необходимости приводить их к общему
знаменателю. Для сложения дробей можно привести их к общему знаменателю,
проделать еще что-то и получить результат. Вряд ли математик возьмется
доказывать, что складывать дроби можно только приводя их к общему знаменателю

Вероятно, проблема в правильном употреблении слов "можно" и "нужно"

[Батороев]

К общему знаменателю приводить необязательно.
Можно привести и к факториалу от наибольшего знаменателя.
Будет труднее, но за то смешнее.

[Really]

Батороев в сообщении #168825 писал(а):

Можно привести и к факториалу от наибольшего знаменателя.

Все равно это будет общий знаменатель. Просто не наименьший.

[TOTAL]

ЛитвиненкоВ. писал(а):

ПОЧЕМУ при сложении дробей с разными знаменателями их необходимо приводить к общему знаменателю?

P.S. На это вопрос не смог ответить ни один преподаватель КубГУ

Теорема
При сложении $N$ дробей с разными знаменателями их необходимо приводить к одному знаменателю.

Доказательство
Если их не приводить к одному знаменателю, то в сумме получается дробь, у которой $N$ разных знаменателей.
Порядочная дробь такого себе позволить не может. Противоречие.

[AD]

TOTAL в сообщении #168925 писал(а):

Теорема
При сложении $N$ дробей с разными знаменателями их необходимо приводить к одному знаменателю.

Доказательство
Если их не приводить к одному знаменателю, то в сумме получается дробь, у которой $N$ разных знаменателей.
Порядочная дробь такого себе позволить не может. Противоречие.

А если так:
Теорема
При сложении $N$ дробей с разными числителями их необходимо приводить к одному числителю.

Доказательство
Если их не приводить к одному числителю, то в сумме получается дробь, у которой $N$ разных числителей.
Порядочная дробь такого себе позволить не может. Противоречие.

[Батороев]

Really писал(а):

Батороев в сообщении #168825 писал(а):

Можно привести и к факториалу от наибольшего знаменателя.

Все равно это будет общий знаменатель. Просто не наименьший.

Согласен, что тоже знаменатель.

Тогда, попробую сделать обоснование необходимости приведения к общему знаменателю.

Рассмотрим пример:
Необходимо сложить две дроби $ \dfrac{47}{8} $ и $ \dfrac {37}{3} $ (1)

Перепишем: $ 5\dfrac{7}{8} + 12\dfrac{1}{3} $.
Сложим целые части: $ 5+12=17 $ (2)
Остается узнать сумму: $ \dfrac{7}{8} + \dfrac{1}{3} $.
Но эта сумма есть ничто иное, как сумма остатков числителей по основанию, равному знаменателю. Сложить остатки можно лишь, приведя их к единому основанию.
В данном случае единым основанием может служить число $24$.
Для перевода остатков, необходимо умножить их на поправочные коэффициенты:
$ 7\pmod 8\equiv 7\cdot 3\pmod {24} \equiv 21\pmod {24} $
$ 1\pmod 3\equiv 1\cdot 8\pmod {24} \equiv 8\pmod {24} $.

Теперь остатки можно сложить:
$ 21 + 8 = 29\equiv 5\pmod {24} $.
Т.к. полученное число 29 больше основания 24, то добавим единицу к сумме (2): 17+1=18$.

Итого имеем: $ \dfrac{47}{8} + \dfrac {37}{3} = 18\dfrac{5}{24} $.

Таким образом, приведение к общему знаменателю необходимо, чтобы привести остатки чисел к единому основанию, при котором возможно их сложение.

[Brukvalub]

Самое простое объяснение: При сложении дробей с разными знаменателями их нужно предварительно приводить к общему знаменателю потому, что так учила Марьванна. А тому, кто так не делал, она ставила двойки, за которые отец дома крепко порол ремнем. Так что делать не так было себе дороже - потом приходилось решать задачки стоя, поскольку сидеть некоторое время после отцовских внушений было решительно невозможно!

[TOTAL]

AD писал(а):

А если так:
Теорема
При сложении $N$ дробей с разными числителями их необходимо приводить к одному числителю.

Это тоже правильно. Только надо ещё учесть приоритет операций. Полная формулировка теоремы:
При сложении $N$ дробей с разными числителями их необходимо приводить к одному числителю, если их невозможно привести к общему знаменателю.

[gefest_md]

Например, чтобы сумму $\dfrac12+\dfrac13$ превратить в цепную дробь $\dfrac{1}{1+\dfrac15}$, я приведу те дроби к общему знаменателю. А зачем нужны цепные дроби преподаватель не спросит.

[Посторонний]

можно еще перевести дроби в десятичные, какой-то период
будет у них, сложить десятичные, а потом сделать обратное преобразование

и никаких общих знаменателей

так что к общему приводить совсем необязательно

правда, при обратном преобразовании придется сумму геометрической
прогрессии находить, делить на (1-q)... придется определить эту разность,
как ее искать, без общего знаменателя...
не употребляя этого слова... ну это можно сделать

добавлено:
хм... еще придется определить сложение десятичных дробей и
обыкновенных... конечная десятичная дробь и бесконечный периодический
остаток; остаток в рациональную дробь переведем, а потом складывать надо будет

[bot]

Складывая две бесконечные десятичные дроби (конечную тоже можно считать бесконечной - у неё в периоде либо 0 либо 9 в зависимости от избранной формы представления) Вы на самом деле оперируете с пределом суммы двух последовательностей. Каждый член этой суммы складывается по правилу сложения двух дробей с общими знаменателями.

[Посторонний]

bot писал(а):

Складывая две бесконечные десятичные дроби (конечную тоже можно считать бесконечной - у неё в периоде либо 0 либо 9 в зависимости от избранной формы представления) Вы на самом деле оперируете с пределом суммы двух последовательностей. Каждый член этой суммы складывается по правилу сложения двух дробей с общими знаменателями.

ну и что?
мне не надо это знать... есть две последовательности цифр, я с ними
работаю... складываю, переношу в следующий разряд и т.д.
не употребляю понятия "общий знаменатель"

Добавлено спустя 21 минуту 15 секунд:

О-о-о... меня осенило...
Вот как можно складывать без общего знаменателя:
переводим в десятичные, складываем, а потом начинаем подбирать...

было допустим, две дроби 1/2 и 1/3, перевели в десятичные:
0,50000... и 0,33333,
сложили, получили 0,833333...
а потом подбираем: берем всевозможные рациональные дроби,
переводим их в десятичные и смотрим, какая из них в десятичном
виде будет иметь вид 0,833333.... она и будет суммой...
долго немножко, зато без общего знаменателя

[Попов А.В.]

Строго говоря, дроби и рациональные числа - это разные объекты. Рациональные числа это класс эквивалентных дробей.
Сначала определяется Z- алгебра дробей, которая факторизуется по данному отношению эквивалентности (которое более того является конгруэнцией) - получаем кольо рациональных чисел (но легко доказывается, что оно является полем).
Вопрос поставленный автором думаю следует понимать так: нужно доказать, что единственный способ определить операцию сложения дробей так, чтобы выполнялись всякие хорошие свойства, вроде ассоциативности, коммутативности, дистрибутивности и некоторых других, это "каким-либо определенным образом" привести дроби к общему знаменателю (данная операция будет определена однозначно с точностью до эквивалентности дробей)

P.S. А всякие рассуждения типа "ну так дроби устроены" больше свойственны физикам, а не математикам[/b]