Отношение эквивалентности

[dgwuqtj]

А можно вообще никаких отображений не использовать.

[Xo4y3HaTb]

Пусть $g: X'\to 2^{X'}$ отображение, где каждый эл-т отображается в мн-во ему эквивалентных. $(g: X'\to 2^{X'})\Leftrightarrow(\forall x\in X' \exists!g(x)\in 2^{X'}(\forall x'\in X' xRx'\Leftrightarrow x'\in g(x)))$
Т.к. $\forall x\in X' xRx$, то$\exists g(x)\in 2^{X'} x\in g(x)$ Т.е. для каждого эл-та из $X'$ найдётся по крайней мере 1 эл-т из $2^{X'}$. Теперь докажем, что он единственный. От противного. Пусть $\exists x\in X' \exists g_1(x), g_2(x) \in 2^{X'} g_1\neq g_2$. Тогда, если $g_1\neq g_2 \Rightarrow$ (уместно ли тут сказать без ограничения общности?) $\exists c((c\in g_1(x))\wedge(\neg(c\in g_2(x))))\Rightarrow (cRx)\wedge(\neg(cRx)) $. Противоречие. Отображение существует.
$X'=\bigcup\limits_{x\in X'}g(x)$ причём $\bigcap\limits_{x\in X'}g(x)=\varnothing$
Пусть $(x\in X')\Rightarrow ((\exist g(x)\in 2^{X'})\wedge(xRx))\Rightarrow x\in g(x)\Rightarrow x\in \bigcup\limits_{x\in X'}g(x)$. Пусть $(x\in \bigcup\limits_{x\in X'}g(x))\Rightarrow \exists x_1\in X' x\in g(x_1)\subset 2^{X'}$. $g(x_1)$ это эл-т мн-ва $2^{X'}$, т.е. $g(x_1)$ подмножество $X'$. $x\in g(x_1)\subset X' \Rightarrow x\in X'$. Доказано, что $X'=\bigcup\limits_{x\in X'}g(x)$.
Если $\forall x_1,x_2\in X'$ верно, что $x_1Rx_2$, тогда $g(X')=X'$, т.е. $X'$ - есть один класс эквивалентных элементов и о пересечении говорить не приходится. Пусть $\exists x_1,x_2\in X' \neg(x_1Rx_2)\Rightarrow \exists g_1(x_1),g_2(x_2)\in 2^{X'} g_1\neq g_2$. Пусть $\bigcap\limits_{x\in X'}g(x)=C\Rightarrow \exists c\in C x_1Rc x_2Rc\Rightarrow x_1Rx_2$. Противоречие. Сл-но $\bigcap\limits_{x\in X'}g(x)=\varnothing$.

dgwuqtj в сообщении #1689104 писал(а):

А можно вообще никаких отображений не использовать.

Я так тоже пытался доказать. Но есть загвоздка.
Вернёмся к моему примеру. Пусть $X=\lbrace 1, 2, 3, 4, 5\rbrace, R=\lbrace (1,1), (2,2), (3,3), (2,1), (1,2)\rbrace$ - отношение эквивалентности. $X'=\lbrace 1, 2, 3\rbrace$ - область определения и значения $R$. Тогда $X'=\lbrace1, 2\rbrace\cup\lbrace 3\rbrace$. Пусть $C_1=\lbrace 1, 2\rbrace, C_2=\lbrace 3\rbrace$. Как задать $C_k$ в общем виде не ясно, их может быть как конечное число, так и счётное. Чему должно принадлежать $k$? В общем виде $X'=\lbrace x\mid (x\in X)\wedge (\exists x'\in X (xRx'))\rbrace$. Ясно что в каждом мн-ве $C_k$ должны быть все условия $X'$, но нужно добавить ещё ограничение и связать его с $k$. Вот пока не пойму как это сделать.

[dgwuqtj]

Xo4y3HaTb в сообщении #1689180 писал(а):

Как задать $C_k$ в общем виде не ясно, их может быть как конечное число, так и счётное. Чему должно принадлежать $k$?

Их может быть ещё больше. Зачем вообще нумеровать эти множества, если вам нужно только построить множество из них всех?

-- 06.06.2025, 12:35 --

Xo4y3HaTb в сообщении #1689180 писал(а):

причём $\bigcap\limits_{x\in X'}g(x)=\varnothing$

Вам нужно доказать, что любые два различных подмножества вида $g(x)$ не пересекаются, а не что пересечение их всех пусто.

[Xo4y3HaTb]

$\forall g_1,g_2\in 2^{X'} g_1\neq g_2 \Rightarrow g_1\cap g_2 =\varnothing$.
$g_1\neq g_2\Rightarrow \exists k ((k\in g_1)\wedge (\neg(k\in g_2)))$. Пусть $g_1\cap g_2 =C\Rightarrow \exists c\in C (c\in g_1)\wedge(c\in g_2)$. Имеем$(kRc)\wedge(\neg(kRc))$. Противоречие.

[Xo4y3HaTb]

dgwuqtj в сообщении #1689181 писал(а):

Зачем вообще нумеровать эти множества, если вам нужно только построить множество из них всех?

Без нумерации т.е. должен быть вид $X'=\bigcup\limits_{x\in X'}C(x)$ ? В таком виде тоже никак не получается задать $C(x)$.

[dgwuqtj]

Ну, вы могли просто взять все подмножества вида $g(x)$, т.е. классы эквивалентности элементов. Они образуют разбиение, как вы доказали. Просто можно не строить само отображение.

[Xo4y3HaTb]

Как определить $g(x)$ в виде подмножеств? $g(x)=\lbrace x\in X'\mid \forall x\in X' \exists!g(x)\in 2^{X'}(\forall x'\in X' xRx'\Leftrightarrow x'\in g(x))\rbrace}$. Мне видится это неверным. Я же не могу использовать в определении определяемый объект.

[mihaild]

Рассмотрим все подмножества $Y \subseteq X'$ со следующим свойством: $(\forall x, x' \in Y: xRx') \wedge (\forall x\in Y \forall x' \not\in Y: \neg xRx')$.
Любые два таких подмножества либо совпадают, либо не пересекаются, и каждый элемент принадлежит хотя бы одному (и, соответственно, ровно одному) такому подмножеству.

[dgwuqtj]

mihaild в сообщении #1689254 писал(а):

Рассмотрим все подмножества $Y \subseteq X'$ со следующим свойством: $(\forall x, x' \in Y: xRx') \wedge (\forall x\in Y \forall x' \not\in Y: \neg xRx')$.

И ещё $Y \neq \varnothing$.

[Xo4y3HaTb]

mihaild в сообщении #1689254 писал(а):

Рассмотрим все подмножества $Y \subseteq X'$ со следующим свойством: $(\forall x, x' \in Y: xRx') \wedge (\forall x\in Y \forall x' \not\in Y: \neg xRx')$.
Любые два таких подмножества либо совпадают, либо не пересекаются, и каждый элемент принадлежит хотя бы одному (и, соответственно, ровно одному) такому подмножеству.

Я понимаю св-ва, которые Вы указали, но вообще не могу понять сам объект $Y$. С одной стороны каждый класс эквивалентных элементов есть $Y$. Но как с таким $Y$ строить утверждения? Опять вернусь к своему примеру, чтоб показать, где происходит разрыв шаблона.
Пусть $X=\lbrace 1, 2, 3, 4, 5\rbrace, R=\lbrace (1,1), (2,2), (3,3), (2,1), (1,2)\rbrace$ - отношение эквивалентности. $X'=\lbrace 1, 2, 3\rbrace$ - область определения и значения $R$. Тогда $X'=\lbrace1, 2\rbrace\cup\lbrace 3\rbrace$. В данном примере подмн-во $\lbrace1, 2\rbrace$ удовлетворяет описанным св-вам $Y$, тогда $Y=\lbrace1, 2\rbrace$, но св-вам $Y$ так же удовлетворяет мн-во $\lbrace 3\rbrace$. Если я скажу $Y=\lbrace 3\rbrace$, то получается, что $Y$ равен двум разным мн-вам (что звучит как нонсенс) и уже не выполнятся св-ва. Как при таком $Y$ я могу записать условие задачи? Просто написать $X'=\bigcup\limits_{}^{}Y$? А как записать что 2 разных $Y$ не пересекаются, если мы все подмн-ва записали как $Y$. В общем путаница полная. Можно ли вообще в теории определить $Y$ не используя слов, а только запись вида $Y=\lbrace x\mid ......\rbrace$?

[Geen]

(Оффтоп)

Xo4y3HaTb в сообщении #1689265 писал(а):

Пусть $X=\lbrace 1, 2, 3, 4, 5\rbrace, R=\lbrace (1,1), (2,2), (3,3), (2,1), (1,2)\rbrace$ - отношение эквивалентности.

Не, меня конкретно плющит от такого. Начиная с непонимания зачем тут упоминать $X$....

[Xo4y3HaTb]

(Оффтоп)

$R\subset X^2$

[dgwuqtj]

Ну вот и получается разбиение $X' = \bigsqcup_{Y \in \mathcal Y} Y$, где

$$\mathcal Y = \{Y \mid \varnothing \neq Y \subseteq X',\quad \forall x_1, x_2 \in Y \enskip x_1 R x_2,\quad \forall x_1 \in Y \enskip \forall x_2 \in X' \setminus Y \enskip \neg (x_1 R x_2) \}.$$

(Оффтоп)

Никто не мешает рассматривать абстрактное бинарное отношение, т.е. просто множество из каких-то пар, без всякого $X$. Такое понятие в теории множеств тоже встречается.

[Xo4y3HaTb]

dgwuqtj, mihaild Спасибо за помощь! Всё получилось доказать.