Есть ли смысл говорить об экспоненциальном росте на отрезке

[drzewo]

Ende
Выделено из темы «Темпы научно-технического прогресса»

Мне, кстати, всегда было интересно, а понимает ли прогрессивная интеллигенция, что фраза "экспоненциальный рост" лишена смысла когда речь идет о функции определенной на отрезке.

[Mihr]

drzewo в сообщении #1688949 писал(а):

Мне, кстати, всегда было интересно, а понимает ли прогрессивная интеллигенция, что фраза "экспоненциальный рост" лишена смысла когда речь идет о функции определенной на отрезке?

Насчёт прогрессивной интеллигенции - не знаю, но вот мне Ваша фраза непонятна. Рассмотрим функцию $e^x$ на каком-нибудь отрезке $[a;b]$. Разве на этом отрезке упомянутая функция растёт не экспоненциально?
Или Вы о том, что если значения функции даны с ограниченной точностью, то уверенно отличить экспоненту от полинома невозможно?

[EUgeneUS]

drzewo в сообщении #1688949 писал(а):

Мне, кстати, всегда было интересно, а понимает ли прогрессивная интеллигенция, что фраза "экспоненциальный рост" лишена смысла когда речь идет о функции определенной на отрезке.

Смасла тут не только есть, а даже более одного.

1. Процесс или модель процесса предполагает экспоненциальный рост.
Если у Вас есть длительный депозит с ежемесячной капитализацией процентов, то сумма на депозите растет экспоненциально.

2. Результаты измерения некого показателя апроксимируются функцией $f=a e^{bx}$ лучше, чем любой другой двупараметрической.

[drzewo]

EUgeneUS в сообщении #1688953 писал(а):

Если у Вас есть длительный депозит с ежемесячной капитализацией процентов, то сумма на депозите растет экспоненциально.

я же сказал "отрезок"

EUgeneUS в сообщении #1688953 писал(а):

Результаты измерения некого показателя апроксимируются функцией $f=a e^{bx}$ лучше, чем любой другой двупараметрической.

а что это за произвол такой, почему именно "двупараметрической"?

[mihaild]

drzewo в сообщении #1688957 писал(а):

я же сказал "отрезок"

Если у Вас этот депозит лежит больше двух месяцев, то уже осмысленно говорить об экспоненциальном росте.
Определение. Функция $f(t)$ растет экспоненциально на отрезке $[a, b]$, если она растет и $\forall c < b - a\, \exists d \forall x \in [a, b - c]: f(x + c) = f(x) \cdot d$. Ну и естественно на практике для не слишком малых $c$, и равенство приблизительное.

[wrest]

"количество транзисторов, размещаемых на кристалле интегральной схемы, удваивается каждые 24 месяца. " - это же экспоненциальный рост? Ясно, что это когда-то началось и когда-то закончится, т.е. на отрезке.

[amon]

drzewo в сообщении #1688949 писал(а):

Мне, кстати, всегда было интересно, а понимает ли прогрессивная интеллигенция, что фраза "экспоненциальный рост" лишена смысла когда речь идет о функции определенной на отрезке.

А мне, как представителю означенной интеллигенции, тоже всегда казалось, что если в некоторой области (отрезке) $dy=\alpha y dx,$ то в этой области функция - экспонента. Где я ошибался?

[dsge]

drzewo в сообщении #1688949 писал(а):

а понимает ли прогрессивная интеллигенция, что фраза "экспоненциальный рост" лишена смысла когда речь идет о функции определенной на отрезке.

Экономические модели очень оптимистические и жизнерадостные. Экономические агенты - домохозяйства, фирмы - живут там бесконечно долго, поэтому проблем с отрезками там нет, и с экспоненциальный ростом тоже. Все переменные определены на $[0, \infty)$.

[drzewo]

Все сказанное сводится к одному: когда говорят об экспоненциальном росте функции на отрезке, то имеют в виду одну совершенно конкретную функцию вида $c+ae^{bx},\quad a,b>0.$
Так может просто стоит так и говорить, что зависимость выражается данной функцией?

Ведь фраза "экспоненциальный рост" на отрезке действительно довольно бессмысленна и только запутывает. Например:
Функция $f(x)=2x$ растет на отрезке $[0,1]$ быстрее чем функция $g(x)=e^{\frac{x}{1000}}$ потому, что $f'(x)>g'(x)$.

Раз линейная функция растет быстрее чем экспонента, то что вы тогда содержательного сообщили фразой "'экспоненциальный рост"?

-- 05.06.2025, 14:09 --

dsge в сообщении #1688981 писал(а):

Экономические модели очень оптимистические и жизнерадостные. Экономические агенты - домохозяйства, фирмы - живут там бесконечно долго, поэтому проблем с отрезками там нет, и с экспоненциальный ростом тоже. Все переменные определены на $[0, \infty)$.

ну, да , если только так

[mihaild]

dsge в сообщении #1688981 писал(а):

фирмы - живут там бесконечно долго

Это short run. Long run тоже рассматривается (и даже в базовых курсах).

drzewo в сообщении #1688984 писал(а):

Так может просто стоит так и говорить, что зависимость выражается данной функцией?

Это синонимы. Давайте словосочетание "линейная зависимость" тоже запретим, и потребуем каждый раз явно выписывать общий вид?

[realeugene]

Интересно, почему эта тема изначально не в Пургатории?

[dsge]

mihaild в сообщении #1688985 писал(а):

dsge в сообщении #1688981 писал(а):

фирмы - живут там бесконечно долго

Это short run. Long run тоже рассматривается (и даже в базовых курсах).

Непонятно о чем вы?

[drzewo]

mihaild в сообщении #1688985 писал(а):

Это синонимы.

Дайте ссылку на книжку в которой словосочетание "экспоненциальный рост" применяется к функции определенной на отрезке и дано разъяснение про синонимы.

-- 05.06.2025, 14:23 --

да и самое главное: что бы книжка была написана математиками , а не не-пойми-кем

[EUgeneUS]

drzewo в сообщении #1688957 писал(а):

я же сказал "отрезок"

Да, отрезок. Срок депозита.

[drzewo]

EUgeneUS в сообщении #1688991 писал(а):

Да, отрезок. Срок депозита.

Повторю свою просьбу:

drzewo в сообщении #1688988 писал(а):

Дайте ссылку на книжку в которой словосочетание "экспоненциальный рост" применяется к функции определенной на отрезке

c определением. Книжка должна быть написана математиками.