То есть, существуют способы достраивать аксиоматику...
Эти способы никто и не отменял. Если мы хотим достроить аксиоматику, то прямо заявляем об этом, а уже
после этого приступаем к новым выводам. Например, мы принимаем за аксиому непротиворечивость арифметики Пеано и уже с использованием этого доказываем теорему Гудстейна. Но неверно сначала провозгласить истинность теоремы Гудстейна, а потом, когда нам продемонстрируют модель арифметики Пеано, нарушающую теорему Гудстейна, вдруг заявить, что мы, оказывается, принимали непротиворечивость арифметики Пеано за аксиому.
Почему невозможно подловить? Из-за несчетности области определения функции?
Из-за того, что я не могу обеспечить две независимых реализации процесса опроса собеседника: во второй реализации я назову те же аргументы в другом порядке и смогу убедиться, что значения функции для этих аргументов будут названы другие - это значит, что никакой однозначной функции в голове у собеседника не было. Разумеется, из-за бесконечности области определения проверить мы сможем значения функции не для всех аргументов. Но если собеседник не ошибётся, то он сможет обеспечить и аддитивность, и нелинейность функции на любом конечном подмножестве области определения. И я не смогу ему ничего предъявить, поскольку реализация опроса только одна, т.е. я не могу заставить его забыть, что уже спрашивал значения функции для этих аргументов, и спросить заново.
