Доказательство sin(a)=sin(180-a) через площадь треугольника

[Girpodius]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Данный вопрос не является задачей из какой-либо книги, а просто следствие моих размышлений и небольшого любопытства. Пожалуйста, прошу помочь мне с этим вопросом, чтобы внести ясность, очень хотелось бы разобраться.

Зная, что $\sin\alpha=\sin(180-\alpha)$, мы понимаем, что площадь равнобедренного треугольника (вообще, любого произвольного, но для простоты возьмём равнобедренный) с боковой стороной $a$ и углом $\alpha$ равна площади равнобедренного треугольника с боковой стороной $a$ и углом $(180-\alpha)$ по формуле площади половины произведения сторон на синус угла между ними.
Но ведь и без знания факта о равенстве синусов данные площади треугольников остаются равными.
Сам вопрос: изначально предполагая, что нам не известно равенство $\sin\alpha=\sin(180-\alpha)$, можно ли его доказать через равенство площадей треугольника. То есть имеем некий равнобедренный треугольник с боковой стороной $a$ и углом $\alpha$, площадь которого $S=$$\frac{1}{2}a^2\sin\alpha$. Далее поворачиваем одну его боковую сторону, получаем треугольник с боковой стороной $a$ и углом $(180-\alpha)$, тогда его площадь $S= $$\frac{1}{2}a^2\sin(180-\alpha)$. Если теперь мы докажем, что площади равны, то получим равенство синусов.
Возможно ли как-то доказать равенство площадей таких треугольников, чтобы прийти к равенству синусов?
Интересно просто как чисто геометрический способ доказательства равенства синусов.

Все мои попытки доказать равенство сводились к разным тригонометрическим функциям и необходимости уже знать доказываемое равенство или аналогичное ему.

[dgwuqtj]

Можно просто разрезать треугольник осью симметрии и переставить кусочки.

[drzewo]

Girpodius в сообщении #1688617 писал(а):

изначально предполагая, что нам не известно равенство $\sin\alpha=\sin(180-\alpha)$

Это равенство следует непосредственно из определения синуса. Странное предположение.

[Girpodius]

drzewo в сообщении #1688620 писал(а):

Girpodius в сообщении #1688617 писал(а):

изначально предполагая, что нам не известно равенство $\sin\alpha=\sin(180-\alpha)$

Это равенство следует непосредственно из определения синуса. Странное предположение.

Насколько я понимаю (а я могу понимать неверно), определение синуса, распространяющее его смысл за пределы прямоугольного треугольника для произвольного угла, появилось далеко не сразу. А треугольники, о которых я веду речь, равны объективно и без такого определения синуса. Вызывает интерес то, что доказать равенство таких синусов можно и без введения определения синуса, которое мы имеем сейчас (или, иначе, доказать равенство таких синусов можно было в тот исторический период, когда синус ещё не был определен для любого угла).
То есть определение синуса для любого угла в какой-то степени искусственное, а рассматриваемое мной равенство синусов естественно возникает из равенства треугольников.

[drzewo]

Историческая реконструкция, понимаю.

[Евгений Машеров]

Рисуем круг окружность радиуса 1. В нём проводим вектор под углом $\alpha$ к оси Х. Под синусом понимаем длину отрезка от пересечения этого вектора с окружностью до оси Х. Для углов, меньших 90 градусов, это совпадает с определением через отношение сторон треугольника, но осмысленно для любых углов.
А далее отражаем относительно оси Y и видим равенство $\sin(\alpha)=\sin(180^o-\alpha)$

[Combat Zone]

Girpodius в сообщении #1688617 писал(а):

Возможно ли как-то доказать равенство площадей таких треугольников, чтобы прийти к равенству синусов?

Ну а какие проблемы. Проведите общую для обоих треугольников высоту.

[drzewo]

Надо не из старой евклидовой геометрии выводить формулы для синусов, а из современной в данном случае аналитической геометрии выводить теоремы старой геометрии. Это занятие более простое и более осмысленное. А синусы вводить через единичную окружность.

-- 04.06.2025, 10:58 --

Girpodius в сообщении #1688624 писал(а):

А треугольники, о которых я веду речь, равны объективно и без такого определения синуса

И эти странные фразы тоже надо исключить из лексикона. Можно подумать, что синус менее объективен (что бы под этим не понималось) чем треугольник.

[Dedekind]

drzewo в сообщении #1688766 писал(а):

Надо не из старой евклидовой геометрии выводить формулы для синусов, а из современной в данном случае аналитической геометрии выводить теоремы старой геометрии.

Зависит от цели. Если интересует история вопроса, то надо как раз наоборот.

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Электрон также неисчерпаем, как и атом!

drzewo в сообщении #1688766 писал(а):

синус менее объективен (что бы под этим не понималось) чем треугольник.

[realeugene]

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #1688775 писал(а):

синус менее объективен (что бы под этим не понималось) чем треугольник.

Коронарный синус пообъективнее любого треугольника.

-- 04.06.2025, 12:05 --

Girpodius в сообщении #1688617 писал(а):

То есть имеем некий равнобедренный треугольник с боковой стороной $a$ и углом $\alpha$, площадь которого $S=$$\frac{1}{2}a^2\sin\alpha$.

А как геометрически на начальном школьном уровне выводится формула синуса двойного угла? Формулу площади равномедренного треугольника нельзя брать в качестве определения синуса углов, больших 90 градусов. Если хотите чисто геометрические доказательства вам нужны и число геометрические определения.

[Girpodius]

Combat Zone в сообщении #1688751 писал(а):

Girpodius в сообщении #1688617 писал(а):

Возможно ли как-то доказать равенство площадей таких треугольников, чтобы прийти к равенству синусов?

Ну а какие проблемы. Проведите общую для обоих треугольников высоту.

Я пробовал. Третью сторону треугольника мы всегда можем найти по теореме косинусов, но всё упирается в тригонометрические функции от того же угла $180-$\alpha$$. Не получается доказать равенство этих треугольников каким-то методом, исключающим тригонометрические функции.

Dedekind в сообщении #1688769 писал(а):

drzewo в сообщении #1688766 писал(а):

Надо не из старой евклидовой геометрии выводить формулы для синусов, а из современной в данном случае аналитической геометрии выводить теоремы старой геометрии.

Зависит от цели. Если интересует история вопроса, то надо как раз наоборот.

На самом деле, я просто пытаюсь тренировать (если это можно так назвать) математическую технику. Цель моего вопроса всё же не историческая реконструкция, а научиться различным приёмам доказывания. Я несколько дней размышлял, возможно ли через равенство треугольников доказать равенство синусов не ради самого факта доказательства, а ради понимания пути этого доказательства. Пример с исторической реконструкцией я привёл ввиду того, что, как мне кажется, до введения современного понятия синуса математики действительно могли с таким столкнуться, то есть вопрос мог быть актуальным для какого-то исторического периода.

Girpodius в сообщении #1688624 писал(а):

А треугольники, о которых я веду речь, равны объективно и без такого определения синуса
И эти странные фразы тоже надо исключить из лексикона. Можно подумать, что синус менее объективен (что бы под этим не понималось) чем треугольник.

Фраза не очень корректная, я согласен. Она подразумевала под собой, что из равенства площадей рассматриваемых треугольников следует равенство синусов острого и тупого угла и без расширения понятия синуса до любого угла. То есть как бы этот факт предшествует логичному расширению понятия синуса.

Girpodius в сообщении #1688617 писал(а):

То есть имеем некий равнобедренный треугольник с боковой стороной $a$ и углом $\alpha$, площадь которого $S=$$\frac{1}{2}a^2\sin\alpha$.
А как геометрически на начальном школьном уровне выводится формула синуса двойного угла? Формулу площади равномедренного треугольника нельзя брать в качестве определения синуса углов, больших 90 градусов. Если хотите чисто геометрические доказательства вам нужны и число геометрические определения.

Я не исключаю, что у меня заблуждение где-то в самой основе построения рассуждений. Но как мне видится, ещё до того момента, когда было принято определение синуса как функции от любого угла и математики ограничивались рассмотрением тригонометрических функций только от острых углов, из равенства рассматриваемых треугольников просто следовало, что синусы острого и тупого угла равны. То есть определения синуса тупого угла ещё нет, но равенство синусов имеет место быть просто из равенства треугольников.
Вот я и пытаюсь выяснить (просто для понимания техники), возможно ли доказать равенство этих треугольников, чтобы выйти на равенство синусов.

[dgwuqtj]

Girpodius в сообщении #1688812 писал(а):

Не получается доказать равенство этих треугольников каким-то методом, исключающим тригонометрические функции.

При разрезании по высоте обоих равнобедренных треугольников получаются по два равных прямоугольных треугольника с гипотенузой $a$ и острыми углами $\frac \alpha 2$, $90^\circ - \frac \alpha 2$.

[Girpodius]

dgwuqtj в сообщении #1688817 писал(а):

Girpodius в сообщении #1688812 писал(а):

Не получается доказать равенство этих треугольников каким-то методом, исключающим тригонометрические функции.

При разрезании по высоте обоих равнобедренных треугольников получаются по два равных прямоугольных треугольника с гипотенузой $a$ и острыми углами $\frac \alpha 2$, $90^\circ - \frac \alpha 2$.

Как же всё просто. Да, теперь я понимаю. Благодарю Вас!
А я в какие-то формулы Герона уходил, мда... Ещё учиться и учиться.