Формализация логического закона достаточного основания

[epros]

Закон достаточного основания был впервые более или менее внятно сформулирован Лейбницем, который посвятил его обсуждению немало текста в своих сочинениях. Кратко его можно резюмировать как: "Всё утверждаемое должно быть достаточно обоснованным". Смысл "достаточности" остаётся довольно неясным, откуда возникают вот такие мнения:

Википедия в статье Закон достаточного основания писал(а):

Закон достаточного основания не формализуется, не является формальным логическим законом и не принадлежит к логике в собственном смысле слова.

Я не согласен. Я полагаю, что тот факт, что этот закон нельзя записать тавтологией в формальном синтаксисе языка исчисления высказываний, не говорит о том, что он в принципе не формализуется, а уж тем более, что он не принадлежит к логике в собственном смысле слова. Этот закон важен для логики и смысл его в том, что утверждаемое должно быть либо результатом формального вывода, либо должно быть предварительно объявлено аксиомой. "Предварительно" - это значит, что вся аксиоматика должна быть сформулирована в законченной форме до того, как в рамках данной логической системы начнут делать первые выводы. И все эти правила вполне можно формализовать на метаязыке.

Таким образом, типичным нарушением закона достаточного основания является, когда сначала высказывается некое утверждение, а потом под его обоснование подбирается аксиоматика (в том числе, определения понятий). Например, некто в пылу дискуссии утверждает, что "не менее 20% американцев - идиоты". На это ему резонно замечают, что идиотизм - это такой диагноз в клинической психиатрии, который имеет не столь уж значительная доля людей, включая американцев. После этого начинаются рассуждения о том, что понятие "идиот" было использовано в специальном смысле, и даются определения этого "специального смысла".

По-моему, большинство споров происходят именно в силу нарушения этого закона: Люди что-то утверждают, не затрудняя себя определениями используемых понятий, а потом выясняется, что они говорили о разных вещах и даже вовсе непонятно о чём. Это имеет отношение и к математике. Когда-то здесь на форуме я просил кого-то привести пример нелинейной аддитивной функции $\mathbb R \to \mathbb R$, на что мне предложили называть любые аргументы, а мне будут в ответ называть значения функции для этих аргументов. По-моему, определение функции должно быть окончательно сформулировано до того, как мы спросим, каково её значение для того или иного аргумента, а не достраиваться на ходу. Раз этого не было сделано, значит конкретная функция не была определена. Т.е. тот, кто утверждает, что у него есть пример такой функции, нарушает закон достаточного основания.

Что скажете?

[EUgeneUS]

epros в сообщении #1687791 писал(а):

Что скажете?

Скажу, что в одной теме приведены примеры на три сильно разных случая.

1.

epros в сообщении #1687791 писал(а):

Этот закон важен для логики и смысл его в том, что утверждаемое должно быть либо результатом формального вывода, либо должно быть предварительно объявлено аксиомой. "Предварительно" - это значит, что вся аксиоматика должна быть сформулирована в законченной форме до того, как в рамках данной логической системы начнут делать первые выводы. И все эти правила вполне можно формализовать на метаязыке.

Физические теории строятся/могут строиться наоборот. СНАЧАЛА делаются частные утверждения (результаты эксперимента), а потом под них строится "аксиматика".

2.

epros в сообщении #1687791 писал(а):

Например, некто в пылу дискуссии утверждает, что "не менее 20% американцев - идиоты". На это ему резонно замечают, что идиотизм - это такой диагноз в клинической психиатрии, который имеет не столь уж значительная доля людей, включая американцев. После этого начинаются рассуждения о том, что понятие "идиот" было использовано в специальном смысле, и даются определения этого "специального смысла".

Нормальная (в смысле - обычная) ситуация, когда в речи используются многозначные слова.

3.

epros в сообщении #1687791 писал(а):

Это имеет отношение и к математике. Когда-то здесь на форуме я просил кого-то привести пример нелинейной аддитивной функции $\mathbb R \to \mathbb R$, на что мне предложили называть любые аргументы, а мне будут в ответ называть значения функции для этих аргументов. По-моему, определение функции должно быть окончательно сформулировано до того, как мы спросим, каково её значение для того или иного аргумента, а не достраиваться на ходу.

Вообще говоря, перечень значений функции для значений её аргумента - вполне валидный способ определения функции.
Хотя, конечно, так можно определить функцию на конечном множестве. На $\mathbb{R}$ так определить функцию нельзя, в силу понятных "технических причин".

-- 28.05.2025, 10:41 --

epros в сообщении #1687791 писал(а):

"Всё утверждаемое должно быть достаточно обоснованным".

Ниже ТС, говорит про аксиоматику:

epros в сообщении #1687791 писал(а):

вся аксиоматика должна быть сформулирована в законченной форме до того, как ..

Однако, "закон достаточного обоснования" вполне можнт поименять и к самой аксиматике.
Мы же её выбираем такую (а не иную) по каким-то причинам, на каком-то основании.

[epros]

EUgeneUS в сообщении #1687796 писал(а):

1.
Физические теории строятся/могут строиться наоборот. СНАЧАЛА делаются частные утверждения (результаты эксперимента), а потом под них строится "аксиматика".

Вы это только что придумали? Конечно нет. Физические теории начинаются с каких-то постулатов, из которых строится некая система выводов, часть из которых являются экспериментально проверяемыми. Если теория не соответствует каким-то экспериментальным фактам, то она либо в целом отвергается (в пользу конкурентов), либо её область применимости ограничивается.

Но даже если пытаться всё строить наоборот, как воображал Фрэнсис Бэкон - по индукции из набора заранее заданных экспериментальных фактов, всё равно эти заложенные "по определению" факты составят аксиоматику, на которой построится система выводов.

EUgeneUS в сообщении #1687796 писал(а):

2.
Нормальная (в смысле - обычная) ситуация, когда в речи используются многозначные слова.

Никто не спорит, что это обычная ситуация. Вопрос в том, насколько это "нормально". В формальных логических системах это недопустимо, выводы не могут появиться до аксиоматики. В жизни так бывает, но и почти всегда это вызывает проблемы непонимания друг друга. Возможно, что было бы слишком жестоким требовать, чтобы вся аксиоматика проговаривалась до того, как мы переходим к выводам. Если есть надежда, что собеседник ориентируется на ту же аксиоматику, то её можно и не уточнять. Но опираться на заведомо нестандартную аксиоматику, не уточняя на какую именно, это заведомо демагогический приём.

EUgeneUS в сообщении #1687796 писал(а):

3.
Вообще говоря, перечень значений функции для значений её аргумента - вполне валидный способ определения функции.
Хотя, конечно, так можно определить функцию на конечном множестве. На $\mathbb{R}$ так определить функцию нельзя, в силу понятных "технических причин".

Вы на ходу подменяете понятия. Перечень значений функции для её аргументов - это вполне валидный способ определения функции, определяемой на конечном множестве. Для определяемой на бесконечном множестве такого способа не существует. А речь была, напомню, о функции $\mathbb R \to \mathbb R$.

EUgeneUS в сообщении #1687796 писал(а):

Однако, "закон достаточного обоснования" вполне можнт поименять и к самой аксиматике.
Мы же её выбираем такую (а не иную) по каким-то причинам, на каком-то основании.

Нет. Аксиоматика выбирается по единственному основанию: собеседники согласились рассматривать именно такую аксиоматику. В остальном она может быть любой степени причудливости, от этого будет зависеть и степень фантастичности теории. Никто не может лишить нас прав рассматривать фантастические теории.

[Anton_Peplov]

epros в сообщении #1687791 писал(а):

Этот закон важен для логики и смысл его в том, что утверждаемое должно быть либо результатом формального вывода, либо должно быть предварительно объявлено аксиомой.

Это называется "зафиксировать аксиомы и правила вывода". Которые вместе с языком составляют формальную систему. Считать ли это формализацией рассуждений Лейбница - вопрос вкуса.

epros в сообщении #1687791 писал(а):

Когда-то здесь на форуме я просил кого-то привести пример нелинейной аддитивной функции $\mathbb R \to \mathbb R$

Гелбаум, Олмстед. Контрпримеры в анализе. Гл.2, пример 26. Авторы называют аддитивность линейностью, так что контрпример называется "Разрывная линейная функция". Однако она не является однородной: все значения функции рациональны, так что для иррационального $c$ и $f(x) \ne 0$ имеет место $f(cx) \ne cf(x)$.

[drzewo]

epros в сообщении #1687791 писал(а):

"Предварительно" - это значит, что вся аксиоматика должна быть сформулирована в законченной форме до того, как в рамках данной логической системы начнут делать первые выводы

Что невозможно, если речь идет о сложных вещах, таких, как, например, жизнь, а не о простых, как, например, математика.

[epros]

Anton_Peplov в сообщении #1687821 писал(а):

Это называется "зафиксировать аксиомы и правила вывода". Которые вместе с языком составляют формальную систему. Считать ли это формализацией рассуждений Лейбница - вопрос вкуса.

Ну вот я говорю, что требование "определить формальную систему" можно строго зафиксировать на метаязыке и это вполне "формализация".

-- Ср май 28, 2025 15:10:12 --

drzewo в сообщении #1687830 писал(а):

Что невозможно, если речь идет о сложных вещах, таких, как, например, жизнь, а не о простых, как, например, математика.

Мысль понятна, но по-моему слишком категорична. В неформализованных рассуждениях тоже можно "по мере возможности" требовать внятной определённости всех используемых понятий. Пока её нет, можно не принимать утверждаемое.

[epros]

Anton_Peplov в сообщении #1687821 писал(а):

Гелбаум, Олмстед. Контрпримеры в анализе. Гл.2, пример 26. Авторы называют аддитивность линейностью, так что контрпример называется "Разрывная линейная функция". Однако она не является однородной: все значения функции рациональны, так что для иррационального $c$ и $f(x) \ne 0$ имеет место $f(cx) \ne cf(x)$.

Спасибо, посмотрел о чём там. Да, это всё известные вещи: и про всюду разрывность, и про базис Гамеля. И конкретного примера функции, конечно, там нет, да и быть не может.

[drzewo]

а еще эта функция не является измеримой по Лебегу:)

[epros]

Было бы любопытно, если бы по Лебегу измерялась функция, значения которой вообще неизвестны.

[drzewo]

przepraszam?

[SergeCpp]

epros в сообщении #1687791 писал(а):

По-моему, большинство споров происходят именно в силу нарушения этого закона: Люди что-то утверждают, не затрудняя себя определениями используемых понятий, а потом выясняется, что они говорили о разных вещах и даже вовсе непонятно о чём.

...нарушает закон достаточного основания.

Что скажете?

Цитата:

В процессе рассуждения каждое понятие, суждение должно употребляться в одном и том же смысле. Предпосылкой этого является возможность различения и отождествления тех объектов, о которых идёт речь[2]. Мысль о предмете должна иметь определённое, устойчивое содержание, сколько бы раз она ни повторялась. Важнейшее свойство мышления — его определённость — выражается данным логическим законом[3][4][5][6].

Впервые[4] закон тождества сформулирован Аристотелем в трактате «Метафизика» следующим образом:

«…иметь не одно значение — значит не иметь ни одного значения; если же у слов нет значений, тогда утрачена всякая возможность рассуждать друг с другом, а в действительности — и с самим собой; ибо невозможно ничего мыслить, если не мыслить что-нибудь одно»

— Аристотель, «Метафизика»[7]

Закон тождества

[epros]

SergeCpp, закон тождества - это о другом. Он про то, что в рамках одного контекста один и тот же термин должен употребляться в одном смысле (хотя в целом язык допускает омонимию). Например, "жизнь бьёт ключом, да всё по голове" - намеренное нарушение, потому что слово "ключ" употреблено в смысле "родник", но смысл тут же подменён на "гаечный".

Или вот пример демагогического рассуждения, основанного на нарушении закона тождества: "У нас все сотрудники (имеется в виду в отделе) младше 30 лет, так что наша организация ориентирована на молодёжь при подборе персонала". Здесь в предпосылке термин "сотрудники" употреблён в смысле "сотрудники нашего отдела", а в заключении он подразумевается в смысле "сотрудники нашей организации в целом".

Закон тождества формализуется как тавтология $A \to A$.

[Alexandr Gavrichenko]

epros в сообщении #1687804 писал(а):

по индукции из набора заранее заданных экспериментальных фактов, всё равно эти заложенные "по определению" факты составят аксиоматику, на которой построится система выводов.

Э-э... Нет. По экспериментальным фактам угадывается общее свойство для этих фактов. Законы Кеплера - это прямая формализация экспериментальных фактов. А последовавшие законы Ньютона - это угаданные общие свойства, из которых формально можно вывести законы Кеплера. То есть, экспериментальные факты - это результат формального вывода, а задача исследователя угадать (воспользовавшись "научной интуицией") те аксиомы, которые приводят к известному выводу. В математике аксиомы Пеано появились на много тысячелетий (!) позже, чем люди научились пользоваться натуральными числами. Аналогично: аксиомы Колмогорова появились существенно позже открытия некоторых законов теории вероятностей.
Таким образом, игра в такую неформализованную угадайку является объективно существующей частью научного исследования.

epros в сообщении #1687791 писал(а):

либо результатом формального вывода, либо должно быть предварительно объявлено аксиомой

Хм-м... Достаточно слов "результатом формального вывода". Поскольку сама аксиома является формально выводимой: в этом случае вывод заключается в записи этой аксиомы. (Аксиома относится к множеству формально выводимых утверждений.)

epros в сообщении #1687791 писал(а):

вся аксиоматика должна быть сформулирована в законченной форме до того, как в рамках данной логической системы начнут делать первые выводы.

epros в сообщении #1687791 писал(а):

По-моему, определение функции должно быть окончательно сформулировано до того, как мы спросим, каково её значение для того или иного аргумента, а не достраиваться на ходу.

Как раз становится любопытным, что произойдет с математикой, если определения и аксиомы можно будет "достраивать на ходу"... Как изменится понятие выводимости и т.д. И можно ли подобный механизм "достраивания на ходу" формализовать!

UPD. Определение, "достраивающееся на ходу", вообще-то отчасти формализовано как игра двух (и более) игроков.

[epros]

Alexandr Gavrichenko в сообщении #1688730 писал(а):

По экспериментальным фактам угадывается общее свойство для этих фактов. Законы Кеплера - это прямая формализация экспериментальных фактов. А последовавшие законы Ньютона - это угаданные общие свойства, из которых формально можно вывести законы Кеплера. То есть, экспериментальные факты - это результат формального вывода, а задача исследователя угадать (воспользовавшись "научной интуицией") те аксиомы, которые приводят к известному выводу.

"Угадывание" - это не вывод. Вы и сами говорите в последнем процитированном предложении, что вывод идёт от аксиоматики к отдельным фактам, а не наоборот. А индукция - это вывод от частного к общему. И неполная индукция, вообще-то, является логической ошибкой. А определение ("угадывание") аксиоматики - это достаточно творческая задача. Очень часто можно угадать не то. Например, была теория, описывающая атом как набор осцилляторов. Или вспомним тот же теплород. При сочинении аксиоматики очень важен принцип простоты: чтобы из конечного множества достаточно простых утверждений (взять те же законы Кеплера) достаточно точно получалось описание достаточно большого количества фактов. Вот тогда аксиоматическая теория выполняет свою функцию: сжатия большого количества фактической информации.

Alexandr Gavrichenko в сообщении #1688730 писал(а):

Достаточно слов "результатом формального вывода". Поскольку сама аксиома является формально выводимой

Не исключённое "или" не является ошибкой, можно сказать и так, как я сказал. Аксиома, конечно, формально выводима за один шаг, который заключается в констатации того, что она есть в множестве аксиом. Но прежде, чем мы сможем сделать этот один шаг, мы должны определить её как аксиому.

Alexandr Gavrichenko в сообщении #1688730 писал(а):

Как раз становится любопытным, что произойдет с математикой, если определения и аксиомы можно будет "достраивать на ходу"... Как изменится понятие выводимости и т.д. И можно ли подобный механизм "достраивания на ходу" формализовать!

Ответ достаточно очевиден: это приведёт к тому, что под любой вывод можно будет задним числом подвести аксиоматику, т.е. можно будет утверждать всё, что хочешь. В конце концов, можно просто высказать утверждение, а потом задним числом объявить его аксиомой.

С предложенным способом "определения" конкретного примера нелинейной аддитивной функции $\mathbb R \to \mathbb R$ всё именно так. Вот я догадываюсь, каким образом собеседник будет высчитывать значение функции для следующего названного мной аргумента, а поэтому знаю, что это значение будет зависимо от того, в каком порядке я называю ему аргументы. Но подловить его на этом невозможно. Так что я знаю, что никакой заранее определённой функции у него в голове нет и что её значения определяются уже после того, как названы значения для других аргументов, но доказать это невозможно. Вопрос в том, кто что кому должен доказывать: я ему, что у него нет заранее определённого примера, или он мне, что заранее определённый пример у него есть.

[Alexandr Gavrichenko]

epros в сообщении #1688762 писал(а):

А определение ("угадывание") аксиоматики - это достаточно творческая задача.

Именно!

epros в сообщении #1688762 писал(а):

можно будет утверждать всё, что хочешь.

Вообще-то, не совсем так. Насколько я понимаю, существует возможность расширять неполные (по Гёделю) теории за счет добавления к аксиомам теории недоказуемых в теории утверждений (или их отрицаний). То есть, есть способ расширения теории, при котором (тем не менее) не появляется возможность утверждать всё, что угодно.

У Н.В. Ефимова в "Высшей геометрии" рассматривается "абсолютная геометрия" (Ефимов пишет, что это термин ввёл Я. Больяй), то есть система утверждений, которые вытекают из аксиом геометрии без пятого постулата Евклида или аксиомы Лобачевского. Если потом к аксиомам добавить постулат Евклида или постулат Лобачевского, то теоремы "абсолютной геометрии" останутся в силе. То есть, существуют способы достраивать аксиоматику...

epros в сообщении #1688762 писал(а):

Но подловить его на этом невозможно.

Почему невозможно подловить? Из-за несчетности области определения функции?