Комплексно аналитическое пространство

[OlgaD]

У меня возник вопрос, связанный с пониманием теоремы существования Римана. Я знаю, что эта теорема формулируется по-разному.
Я приведу формулировку, которая мне не совсем понятна:
Каждая компактная риманова поверхность $S$ алгебраизируема, т.е. существует гладкая проективная алгебраическая кривая $X$ над $\mathbb{C}$ и изоморфизм $X^{\mathrm{an}}\cong S.$ Что понимается под $X^{\mathrm{an}}?$ Алгебраическая кривая с аналитической структурой на ней, аналитическое многообразие. Не уверена, что точно понимаю, что здесь имеется в виду? Помогите разобраться, пожалуйста.

[dgwuqtj]

Алгебраическая кривая — это множество точек с топологией Зарисского (т.е. конечных дополнений: открытые подмножества — это пустое подмножество и дополнения конечных подмножеств) и пучком регулярных функций. А надо получить риманову поверхность, т.е. то же множество, но уже с вещественной топологией и пучком голоморфных функций. Например, в случае проективной прямой добавятся единичный круг как открытое подмножество, а также экспонента как голоморфная функция на аффинной части. Вот $X^{\mathrm{an}}$ и означает некое каноническое расширение топологии и пучка.

[OlgaD]

dgwuqtj в сообщении #1688601 писал(а):

Например, в случае проективной прямой добавятся единичный круг как открытое подмножество, а также экспонента как голоморфная функция на аффинной части. Вот $X^{\mathrm{an}}$ и означает некое каноническое расширение топологии и пучка.

Эта конструкция мне не понятна.

И вообще, что значит "хотим получить риманову поверхность..."?

[Slav-27]

Данилов, Когомологии алгебраических многообразий, § 3.1.1 писал(а):

С каждой $\mathbb C$-схемой $X$ можно связать комплексное аналитическое пространство $X^{\text{ан}}$, состоящее из множества $X(\mathbb C)$, снабженного классической топологией, и пучка колец $\mathcal O_{X^{\text{ан}}}$. Сначала это делается для аффинных схем. Предположим, что аффинная схема $X$ реализуется как замкнутая подсхема аффинного пространства $\mathbb A^n_{\mathbb C}$, заданная уравнениями $f_i=0$, где $f_i$ — многочлены от $T_1,...,T_n$. Эти же многочлены, рассматриваемые как аналитические функции на $\mathbb C^n$, задают аналитическое подпространство в $\mathbb C^n$, которое и обозначается через $X^{\text{ан}}$. Как множество оно отождествляется с $X(\mathbb C)$ — множеством $\mathbb C$-значных точек $X$. Классическая топология на $X(\mathbb C)$ индуцируется евклидовой метрикой $\mathbb C^n$. Пучок $\mathcal O_{X^{\text{ан}}}$ — это пучок ростков аналитических функций на $X(\mathbb C)$. В силу очевидной функториальности конструкция переносится на произвольные схемы и дает функтор аналитизации $X\mapsto X^{\text{ан}}$ из категории схем в категорию аналитических пространств.

В частности, если $X$ -- гладкое алгебраическое многообразие над $\mathbb C$, то $X^{an}$ -- комплексное (т. е. комплексно-аналитическое) многообразие.

[OlgaD]

Если я не ошибаюсь, комплексное аналитическое пространство - это в некоторой степени обобщение комплексно аналитического многообразия (например, римановой поверхности). Тогда изоморфизм, о котором я спрашивала $X^{\mathrm{an}}\cong S$ - это изоморфизм комплексно-аналитических многообразий или комплексных аналитических пространств?

[Slav-27]

И того, и другого. Из гладких алгебраических многообразий над $\mathbb C$ в результате аналитификации получаются комплексно-аналитические многообразия, а если $U,V$ -- это комплексно-аналитические многообразия, то морфизмы $U\to V$ в категории комплексных аналитических пространств точно такие же, как в категории комплексно-аналитических многообразий. Поэтому можно в цитате из Данилова заменить $\mathbb C$-схемы на гладкие алгебраические многообразия над $\mathbb C$, а комплексные аналитические пространства -- на комплексно-аналитические многообразия.

[OlgaD]

Спасибо. Думаю, теперь стало понятнее.