Оценка остатка в формуле Эйлера-Маклорена

[GSav]

Добрый день
Имеется a:=a(x), b:=b(x)
Потребовалось от разности \sum\limits_{m=1}^{a}\frac{1}{m^2} - \sum\limits_{m=1}^{b}\frac{1}{m^2} Перейти к разности интегралов \int\limits_{1}^{a}\frac{1}{m^2}dm - \int\limits_{1}^{b}\frac{1}{m^2}dm.

Применил формулу Эйлера-Маклорена. Надо доказать, что остаточный член стремится к нулю. Полуразность значений функций не важна, вот, то что осталось:
r = \sum \limits_{k=1}^\infty B_{2k} (\frac{1}{b^{2k+1} }- \frac{1}{a^{2k+1}})
(2k)! в знаменателе сократился при вычислении (2k+1)-й производной от 1/a^2 и 1/b^2

Вероятно, ряд расходится. На следующем шаге в задаче x устремляется в к бесконечности и a(x) с b(x) будут к ней стремиться. Этим можно воспользоваться, но мне не совсем ясно, как.

[maxal]

Почему бы для начала не сократить общие члены, а уже потом сводить к интегралу?

Например, при $b\leq a$ имеем:

$$\sum\limits_{m=1}^{a}\frac{1}{m^2} - \sum\limits_{m=1}^{b}\frac{1}{m^2} = \sum_{m=b+1}^{a} \frac{1}{m^2}$$

Эту сумму можно оценить так:

$$\frac{1}{b+1} - \frac{1}{a+1} = \int_{b+1}^{a+1} \frac{dm}{m^2} \leq \sum_{m=b+1}^{a} \frac{1}{m^2} \leq \int_b^a \frac{dm}{m^2} = \frac{1}{b} - \frac{1}{a}.$$

При $a, b$ стремящихся к бесконечности, и верхняя, и нижняя грань стремятся к нулю.

[GSav]

Огромное спасибо. Ваш вариант, несомненно, сильно упростит жизнь. Но, для меня не совсем очевидно неравенство (где сумма от b+1 меньше или равна соответствующего интеграла от b) . Посоветуете, в каком курсе можно почитать про такую оценку?

[ddn]

подробно:

$x^2\leq m^2$ и $\frac{1}{m^2}\leq\frac{1}{x^2}$ при $m-1\leq x\leq m$

$\frac{1}{m^2}=\int\limits_{m-1}^{m}\frac{dx}{m^2}\leq\int\limits_{m-1}^{m}\frac{dx}{x^2}$

$\sum\limits_{m=b+1}^{a}\frac{1}{m^2}\leq\sum\limits_{m=b+1}^{a}\int\limits_{m-1}^{m}\frac{dx}{x^2}=\int\limits_b^a\frac{dx}{x^2}$

[GSav]

Очень красиво.

maxal, ddn, премного благодарен за помощь.