2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Оценка остатка в формуле Эйлера-Маклорена
Сообщение18.12.2008, 03:37 
Добрый день
Имеется a:=a(x), b:=b(x)
Потребовалось от разности \sum\limits_{m=1}^{a}\frac{1}{m^2} - \sum\limits_{m=1}^{b}\frac{1}{m^2} Перейти к разности интегралов \int\limits_{1}^{a}\frac{1}{m^2}dm - \int\limits_{1}^{b}\frac{1}{m^2}dm.

Применил формулу Эйлера-Маклорена. Надо доказать, что остаточный член стремится к нулю. Полуразность значений функций не важна, вот, то что осталось:
r =  \sum \limits_{k=1}^\infty B_{2k} (\frac{1}{b^{2k+1} }- \frac{1}{a^{2k+1}})
(2k)! в знаменателе сократился при вычислении (2k+1)-й производной от 1/a^2 и 1/b^2

Вероятно, ряд расходится. На следующем шаге в задаче x устремляется в к бесконечности и a(x) с b(x) будут к ней стремиться. Этим можно воспользоваться, но мне не совсем ясно, как.

 
 
 
 
Сообщение18.12.2008, 04:46 
Аватара пользователя
Почему бы для начала не сократить общие члены, а уже потом сводить к интегралу?

Например, при $b\leq a$ имеем:
$$\sum\limits_{m=1}^{a}\frac{1}{m^2} - \sum\limits_{m=1}^{b}\frac{1}{m^2} = \sum_{m=b+1}^{a} \frac{1}{m^2}$$

Эту сумму можно оценить так:
$$\frac{1}{b+1} - \frac{1}{a+1} = \int_{b+1}^{a+1} \frac{dm}{m^2} \leq \sum_{m=b+1}^{a} \frac{1}{m^2} \leq \int_b^a \frac{dm}{m^2} = \frac{1}{b} - \frac{1}{a}.$$

При $a, b$ стремящихся к бесконечности, и верхняя, и нижняя грань стремятся к нулю.

 
 
 
 
Сообщение18.12.2008, 05:53 
Огромное спасибо. Ваш вариант, несомненно, сильно упростит жизнь. Но, для меня не совсем очевидно неравенство (где сумма от b+1 меньше или равна соответствующего интеграла от b) . Посоветуете, в каком курсе можно почитать про такую оценку?

 
 
 
 
Сообщение18.12.2008, 06:37 
подробно:

$x^2\leq m^2$ и $\frac{1}{m^2}\leq\frac{1}{x^2}$ при $m-1\leq x\leq m$

$\frac{1}{m^2}=\int\limits_{m-1}^{m}\frac{dx}{m^2}\leq\int\limits_{m-1}^{m}\frac{dx}{x^2}$

$\sum\limits_{m=b+1}^{a}\frac{1}{m^2}\leq\sum\limits_{m=b+1}^{a}\int\limits_{m-1}^{m}\frac{dx}{x^2}=\int\limits_b^a\frac{dx}{x^2}$

 
 
 
 
Сообщение18.12.2008, 22:07 
Очень красиво.

maxal, ddn, премного благодарен за помощь.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group