Неравенство (Вероятность)

[ihq.pl]

К одной задаче у Ширяева есть указание: Доказать, что

$$\mathsf{E}\xi^2 \leqslant 1 + 4\sum_{n=1}^\infty n\mathsf{P}(|\xi|>n).$$

Здесь $\xi$ - произвольная случайная величина. Попробовал доказать и получил более точное неравенство

$$\mathsf{E}\xi^2 \leqslant 1 + 3\sum_{n=1}^\infty n\mathsf{P}(|\xi|>n).$$

Для решения самой задачи это роли не играет, но остались сомнения.

Решение. Представим

$$\mathsf{E}\xi^2 = \mathsf{E}[\xi^2I(\xi>0)] = \sum_{n=0}^\infty\mathsf{E}[\xi^2I(n< |\xi|\leqslant n+1)].$$

Тогда

$$\mathsf{E}\xi^2 \leqslant \sum_{n=0}^\infty(n+1)^2\mathsf{P}(n< |\xi| \leqslant n+1) = \sum_{n=1}^\infty n^2\mathsf{P}(n-1< |\xi| \leqslant n),$$

где

$$\begin{align}\begin{split} & \sum_{n=1}^\infty n^2\mathsf{P}(n-1 < |\xi| \leqslant n) = \\ & = \sum_{n=1}^\infty n(n+1) \mathsf{P}(n-1 < |\xi| \leqslant n) - \sum_{n=1}^\infty n\mathsf{P}(n-1< |\xi| \leqslant n) = \\ & = 2\sum_{n=1}^\infty \sum_{k=1}^n k \mathsf{P}(n-1 < |\xi| \leqslant n) - \sum_{n=1}^\infty \sum_{k=1}^n \mathsf{P}(n-1< |\xi| \leqslant n) = \\ &=2\sum_{k=1}^\infty \sum_{n=k}^\infty k\mathsf{P}(n-1 < |\xi| \leqslant n) - \sum_{k=1}^\infty \sum_{n=k}^\infty \mathsf{P}(n-1< |\xi| \leqslant n)=\\ &=2\sum_{k=1}^\infty k\mathsf{P}(|\xi| > k-1) - \sum_{k=1}^\infty \mathsf{P}( |\xi| > k-1) = \\ &=2\sum_{k=0}^\infty k\mathsf{P}(|\xi| > k) + \sum_{k=0}^\infty \mathsf{P}( |\xi| > k) \leqslant 1 + 3\sum_{k=1}^\infty k\mathsf{P}(|\xi| > k) \end{split}.\end{align}$$

[ShMaxG]

На мой взгляд все верно.

[ihq.pl]

ShMaxG, спасибо)