2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Неравенство (Вероятность)
Сообщение30.05.2025, 16:51 
К одной задаче у Ширяева есть указание: Доказать, что $$\mathsf{E}\xi^2 \leqslant 1 + 4\sum_{n=1}^\infty n\mathsf{P}(|\xi|>n).$$
Здесь $\xi$ - произвольная случайная величина. Попробовал доказать и получил более точное неравенство $$\mathsf{E}\xi^2 \leqslant 1 + 3\sum_{n=1}^\infty n\mathsf{P}(|\xi|>n).$$ Для решения самой задачи это роли не играет, но остались сомнения.

Решение. Представим $$\mathsf{E}\xi^2 = \mathsf{E}[\xi^2I(\xi>0)] = \sum_{n=0}^\infty\mathsf{E}[\xi^2I(n< |\xi|\leqslant n+1)].$$ Тогда $$\mathsf{E}\xi^2 \leqslant \sum_{n=0}^\infty(n+1)^2\mathsf{P}(n< |\xi| \leqslant n+1) = \sum_{n=1}^\infty n^2\mathsf{P}(n-1< |\xi| \leqslant n),$$ где $$\begin{align}\begin{split}
& \sum_{n=1}^\infty n^2\mathsf{P}(n-1 < |\xi| \leqslant n) = \\
&  = \sum_{n=1}^\infty n(n+1) \mathsf{P}(n-1 < |\xi| \leqslant n) - \sum_{n=1}^\infty n\mathsf{P}(n-1< |\xi| \leqslant n) =  \\
&  = 2\sum_{n=1}^\infty \sum_{k=1}^n k \mathsf{P}(n-1 < |\xi| \leqslant n) - \sum_{n=1}^\infty \sum_{k=1}^n \mathsf{P}(n-1< |\xi| \leqslant n) =  \\
&=2\sum_{k=1}^\infty \sum_{n=k}^\infty k\mathsf{P}(n-1 < |\xi| \leqslant n) - \sum_{k=1}^\infty \sum_{n=k}^\infty \mathsf{P}(n-1< |\xi| \leqslant n)=\\  
&=2\sum_{k=1}^\infty k\mathsf{P}(|\xi| > k-1) - \sum_{k=1}^\infty \mathsf{P}( |\xi| > k-1) =  \\
&=2\sum_{k=0}^\infty k\mathsf{P}(|\xi| > k) + \sum_{k=0}^\infty \mathsf{P}( |\xi| > k) \leqslant 1 + 3\sum_{k=1}^\infty k\mathsf{P}(|\xi| > k)  
\end{split}.\end{align}$$

 
 
 
 Re: Неравенство (Вероятность)
Сообщение30.05.2025, 18:15 
Аватара пользователя
На мой взгляд все верно.

 
 
 
 Re: Неравенство (Вероятность)
Сообщение04.06.2025, 18:14 
ShMaxG, спасибо)

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group