Точное количество кортежей из простых чисел в интервале

[Yadryara]

Видимо, всё-таки в отдельной теме надо написать.

Yadryara в сообщении #1687182 писал(а):

На интересующей высоте $x<10^{29}$ интегральный логарифм от $x$ всегда больше чем $\pi(x)$. По HL1, которая тоже приблизительная — кортежей то больше, то меньше. Кстати, интересно проследить когда больше, а когда меньше.

Кое-какие подсчёты уже были. Нашёл паттерн для которого регулярно находилось больше кортежей, чем прогноз по HL1:

Yadryara в сообщении #1646915 писал(а):

3     [0, 6, 12]

10^     HL-1        Posl/Pred      Fact    Pogresh

1         -50.74         
2         -53.90         1.06         1   -54.9
3         -47.80         0.887       13    -4.68
4          -6.33         0.133       58    -1.11
5         241.46       -38.1        322    -0.250
6        1790.27         7.41      1929    -0.0719
7       12004.79         6.71     12313    -0.0250
8       82573.89         6.88     83446    -0.0105
9      589224.42         7.14    595279    -0.0102
10    4344134.1          7.37   4383099    -0.00889
11   32919570            7.58

То есть это, похоже, от паттерна зависит. И если это так (ещё надо проверять и проверять), то здесь положительную поправку надо прибавлять.

[Yadryara]

Yadryara в сообщении #1687443 писал(а):

Мне очень трудно читать и ничего не считать.

Я конечно нашёл что посчитать. Решил присмотреться повнимательнее к первым дзета-нулям.

Для первого нуля формула такая: $-2\operatorname{li} (x^{\rho_1})$

В PARI вычислял так: 2*real(eint1(-log(x)*(1/2+z[1]*I)))

Соответственно, для других нулей брал z[2], z[3] и так далее. Всего у меня пока скачаны лишь 10 тысяч нулей.

При вычислении по этой формуле каждый отдельный ноль ведёт себя как необычный маятник, период которого увеличивается по мере увеличения $x$, а для чисел больше $8$ растёт и амплитуда. При этом скорость раскачивания падает. $x$ обсчитывал начиная с 2-х и увеличивал с разным шагом, в таблицах ниже шаг равен одной сотой. Интересовали экстремумы функции, которые здесь обозначены буквой $a$, разности между соседними значениями обозначены $Dx$ и $D|a|$ соответственно.

(1-й ноль)

        x        a               Dx      D|a|
     2.18    0.266
     2.72   -0.232             0.54    -0.034
     3.40    0.212             0.68    -0.020
     4.24   -0.201             0.84    -0.011
     5.30    0.195             1.06    -0.006
     6.61   -0.192             1.31    -0.003
     8.26    0.192             1.65     0.000
    10.32   -0.195             2.06     0.003
    12.88    0.199             2.56     0.004
    16.09   -0.204             3.21     0.006
    20.10    0.211             4.01     0.007
    25.10   -0.220             5.00     0.009
    31.34    0.230             6.24     0.010
    39.15   -0.241             7.81     0.011
    48.89    0.254             9.74     0.013
    61.06   -0.269            12.17     0.015
    76.25    0.285            15.19     0.016
    95.23   -0.303            18.98     0.018
   118.94    0.323            23.71     0.020
   148.54   -0.345            29.60     0.022
   185.51    0.369            36.97     0.024
   231.69   -0.395            46.18     0.027
   289.35    0.424            57.66     0.029
   361.37   -0.456            72.02     0.032
   451.32    0.491            89.95     0.035
   563.65   -0.530           112.33     0.038
   703.94    0.572           140.29     0.042
   879.14   -0.618           175.20     0.046
  1097.96    0.669           218.82     0.051
  1371.24   -0.725           273.28     0.056
  1712.54    0.786           341.30     0.061
  2138.78   -0.853           426.24     0.067
  2671.12    0.926           532.34     0.073
  3335.95   -1.007           664.83     0.080
  4166.26    1.095           830.31     0.088
  5203.22   -1.192          1036.96     0.097
  6498.29    1.298          1295.07     0.106
  8115.69   -1.415          1617.40     0.117

(2-й ноль)

        x        a               Dx      D|a|
     2.27    0.174 
     2.64   -0.159             0.37    -0.015
     3.07    0.148             0.43    -0.011
     3.56   -0.141             0.49    -0.007
     4.14    0.136             0.58    -0.005
     4.80   -0.133             0.66    -0.003
     5.58    0.131             0.78    -0.002
     6.48   -0.130             0.90    -0.001
     7.52    0.129             1.04    -0.001
     8.73   -0.130             1.21     0.001
    10.14    0.131             1.41     0.001
    11.77   -0.132             1.63     0.002
    13.67    0.134             1.90     0.002
    15.87   -0.137             2.20     0.003
    18.43    0.140             2.56     0.003
    21.40   -0.144             2.97     0.004
    24.85    0.148             3.45     0.004
    28.86   -0.152             4.01     0.004
    33.51    0.157             4.65     0.005
    38.91   -0.162             5.40     0.005
    45.19    0.168             6.28     0.006
    52.47   -0.174             7.28     0.006
    60.93    0.181             8.46     0.007
    70.75   -0.188             9.82     0.007
    82.15    0.196            11.40     0.008
    95.39   -0.204            13.24     0.008
   110.77    0.213            15.38     0.009
   128.62   -0.222            17.85     0.009
   149.36    0.232            20.74     0.010
   173.43   -0.243            24.07     0.011
   201.39    0.254            27.96     0.011
   233.85   -0.267            32.46     0.012
   271.54    0.280            37.69     0.013
   315.31   -0.294            43.77     0.014
   366.13    0.308            50.82     0.015
   425.15   -0.324            59.02     0.016
   493.67    0.341            68.52     0.017
   573.25   -0.359            79.58     0.018
   665.65    0.377            92.40     0.019
   772.94   -0.398           107.29     0.020
   897.53    0.419           124.59     0.021
  1042.20   -0.442           144.67     0.023
  1210.19    0.466           167.99     0.024
  1405.26   -0.492           195.07     0.026
  1631.77    0.519           226.51     0.027
  1894.79   -0.549           263.02     0.029
  2200.20    0.580           305.41     0.031
  2554.85   -0.613           354.65     0.033
  2966.65    0.648           411.80     0.035
  3444.84   -0.685           478.19     0.037
  4000.11    0.725           555.27     0.040
  4644.87   -0.768           644.76     0.042
  5393.56    0.813           748.69     0.045
  6262.94   -0.861           869.38     0.048
  7272.44    0.912          1009.50     0.051
  8444.66   -0.967          1172.22     0.055
  9805.83    1.025          1361.17     0.058

Затем, как и полагается по формуле Римана, я эти нули складывал. И смотрел уже экстремумы для суммы. Сначала складывал отдельные первые нули, затем взял тысячу, а в отдельных интересных точках брал и по 10 тысяч.

Какое отношение это имеет к кортежам? Статистики очень много, пока покажу некоторые отдельные точки.

Sum z           x        a       Dp                     Comments
10000      113.04    1.391     0.04   start first tuplet 0, 14      record gap
10000      199.06    1.776     0.06   start first tuplet 0, 12, 24
10000      222.93   -1.865    -0.07   end   first tuplet 0, 12, 24
10000     1129.34    2.405     0.34   start first tuplet 0, 22      record gap
10000   155906.70   17.581   -14.30   start first tuplet 0, 86      record gap

Видно, что абсолютная погрешность $Dp$ растёт с ростом $x$. Dmitriy40, у Вас, как понял, скачаны не 10 тысяч, а 10 миллионов нулей. Ну вот можете проверить, действительно ли рекордная сумма дзета-нулей равна примерно 17-ти и действительно ли точка экстремума гораздо ближе к тому самому простому числу $155921$.

Рекордные гэпы можно посмотреть, например, здесь: https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_gap

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1687974 писал(а):

Dmitriy40, у Вас, как понял, скачаны не 10 тысяч, а 10 миллионов нулей. Ну вот можете проверить, действительно ли рекордная сумма дзета-нулей равна примерно 17-ти и действительно ли точка экстремума гораздо ближе к тому самому простому числу $155921$.

Во-первых, скачать с указанного Вами сайта можно сразу сто тысяч нулей за раз, с адреса вида https://www.lmfdb.org/zeros/zeta/list?limit=100000&N=XXX00000, где XXX это с какого нуля скачивать. Выделяете весь текст, копируете в файл, получаете список нулей. Я сразу удаляю первую колонку (с номерами нулей) и получаю просто вектор самих нулей, читаемый в PARI командой readvec().
Чтобы не париться с ручным скачиванием, использую cURL и команду curl -k "https://www.lmfdb.org/zeros/zeta/list?limit=100000&N=[1-99]00000" -o z#1e5 (первый файл, с первого нуля, скачать отдельно, там и номер с 1, и количество 99999). Правда они сволочи не отдают сразу много файлов (вместо списка нулей приходит html размера около 20КБ с чем-то типа капчи, это и есть признак что не отдали), потому запускать сразу на 100 смысла нет, я запускал по 5 с паузой в десяток секунд, так отдают без проблем. Каждый файл занимает 4.5МБ.

Во-вторых, мне проще выложить список первых 10млн нулей (всего-то 390МБ текста или 151МБ архива) чем заморачиваться с перевычислением кучи вашей статистики.

В-третьих, если Вы хотите просто проверить точность вычисления формулы Римана с 10млн нулей, то это сильно проще и для этого не надо набирать кучу статистики, вот:

Используется синтаксис Text

n=155921
  1:                          14389.0370810906              17.0674522471         -0.6931471806          0.0000000000  =                         14405.4113861571
  2:                            -42.2802358371               0.0997350812          0.3465735903         -0.0000002488  =                           -41.8339274144
  3:                             -6.4789166691              -0.1243403752          0.2310490602         -0.0000129638  =                            -6.3722209479
  5:                             -1.3122730261               0.1072749823          0.1386294361         -0.0002978887  =                            -1.0666664964
  6:                              0.8213114166               0.0435656436         -0.1155245301          0.0006474669  =                             0.7499999970
  7:                             -0.5638964859              -0.0339993911          0.0990210258         -0.0011250378  =                            -0.4999998891
 10:                              0.2430228397               0.0232568337         -0.0693147181          0.0030351361  =                             0.2000000914
 11:                             -0.1938109652               0.0436362423          0.0630133801         -0.0037480044  =                            -0.0909093473
 13:                             -0.1289850667               0.0039348721          0.0533190139         -0.0051919374  =                            -0.0769231181
 14:                              0.1069241061               0.0081097929         -0.0495105129          0.0059051828  =                             0.0714285689
 15:                              0.0892958839               0.0169753052         -0.0462098120          0.0066051261  =                             0.0666665032
 17:                             -0.0632096301              -0.0284337889          0.0407733636         -0.0079529708  =                            -0.0588230262
14389.037081090565938281780070180898713\\li(n)
14356.500011078238148023773800925770675
14357\\pi(n)

Обращу внимание что значение 14356.5 - точное, именно на 0.5 меньше $\pi(155921)=14357$ - так задана $J(x)$.

Используется синтаксис Text

n=156007
  1:                          14396.2292918073              10.8744128520         -0.6931471806          0.0000000000  =                         14406.4105574787
  2:                            -42.2893416816               0.1088422784          0.3465735903         -0.0000002486  =                           -41.8339260615
  3:                             -6.4797440870              -0.1235129118          0.2310490602         -0.0000129585  =                            -6.3722208971
  5:                             -1.3123738289               0.1073768627          0.1386294361         -0.0002978108  =                            -1.0666653409
  6:                              0.8213678051               0.0435094375         -0.1155245301          0.0006473214  =                             0.7500000339
  7:                             -0.5639328440              -0.0339634517          0.0990210258         -0.0011248142  =                            -0.5000000840
 10:                              0.2430380851               0.0232421127         -0.0693147181          0.0030346717  =                             0.2000001515
 11:                             -0.1938233972               0.0436486028          0.0630133801         -0.0037474666  =                            -0.0909088809
 13:                             -0.1289939660               0.0039430386          0.0533190139         -0.0051912673  =                            -0.0769231809
 14:                              0.1069318443               0.0081029247         -0.0495105129          0.0059044539  =                             0.0714287099
 15:                              0.0893027065               0.0169693819         -0.0462098120          0.0066043428  =                             0.0666666192
 17:                             -0.0632151111              -0.0284296163          0.0407733636         -0.0079520908  =                            -0.0588234547
14396.229291807254365572118199681946613\\li(n)
14357.499185093295663523388798446899407
14358\\pi(n)

Каждая строка с 10млн нулями вычисляется по 2.7 минуты!

По идее можно суммирование по нулям сделать и параллельно, но это требует другой версии PARI (та что gpp) и плюс затраты памяти будут в разы больше - PARI не умеет обращаться с общими данными для всех потоков, он будет весь вектор нулей дублировать для каждого потока (что конечно маразм, вектор же read only в каждом потоке). Если сделать вектора по 100К элементов, то не страшно, а вот десяток векторов по миллионам элементов, по 40 байтов на элемент ...
Достаточно добавить команду export(zm,y) (по моему коду) и заменить sum на parsum. Правда ускорение получилось даже не в разы, с 162с до 134с на строку, хотя задействованы все 4 потока и ожидалось 40с.
Видимо выгоднее параллельно обрабатывать сами файлы нулей, а не суммирование. Впрочем, так ускорение с 162с до 125с на строку, вместо ожидаемых 50с.
Фуфло эта встроенная параллельность в PARI.

В-четвёртых, раз уж точное значение $J(x)$ несложно вычислить через $\pi(x)$ для небольших $x$ (до 1e17 уж точно), то соответственно можно узнать точное значение второго слагаемого (суммы).

В-пятых, все значения $J(x)$ будут одинаковы если выполняется условие $\lfloor \sqrt[k]{a} \rfloor = \lfloor \sqrt[k]{b} \rfloor, k=1\ldots\infty$ для двух чисел $a,b$, т.е. выше правая колонка (это и есть $J(x)$) во всех строках кроме первой должна быть одинаковой. Все отклонения - результат погрешностей вычислений, в основном из-за недостатка количества нулей.

Ну либо я не понял чего именно Вы хотите.

PS. Для длинных таблиц удобно использовать тег syntax с вариантом text, как у меня выше, а не code и offtop - кому надо тот сам развернёт текст, зато без всяких действий по первым строкам видно что там. И выравнивание лучше.

[wrest]

Dmitriy40 в сообщении #1688042 писал(а):

Видимо выгоднее параллельно обрабатывать сами файлы нулей, а не суммирование. Впрочем, так ускорение с 162с до 125с на строку, вместо ожидаемых 50с.
Фуфло эта встроенная параллельность в PARI.

Можно разные части скормить разным однопоточным инстансам pari, доверив разделение времени операционной системе. Ну и gp2c

P.S. Ухожу, ухожу

[Yadryara]

Спасибо.

Dmitriy40 в сообщении #1688042 писал(а):

Ну либо я не понял чего именно Вы хотите.

Я хочу всё того же: понять, как люди обходятся сравнительно малым количеством нулей для подсчёта простых чисел.

Статистика мне нужна не ради статистики, а чтоб посмотреть можно ли извлечь из неё пользу. Ну вот например в примерах показано, что в некоторых случаях экстремум указывает где находится очередной рекордный гэп или сильно дырявый кортеж подлиннее, а не наоборот. Хотя можно смотреть и наоборот.

А в других случаях, экстремум указывает где находится сильно плотный кортеж, только это не так выражено.

Пока в основном изучаю как работает эта сходимость. Увеличение количества нулей на порядок в 9 случаях из 10 сдвигает точку экстремума в одном и том же направлении. То есть даже если Вы или я не посчитаете сумму с бо́льшим количеством нулей, я всё равно уверен, что точка именно туда сдвинется.

Ну и ещё я Вас упомянул не потому что мне очень нужна помощь. А потому что не хочу быть в этой теме совсем один.

wrest, хотя бы в этот раз не уходите

[Dmitriy40]

В районе $10^{26}$ простым является в среднем каждое $\ln(10^{26})\approx 60$-е число, значит для паттернов с диаметрами заметно менее 60*len можно искать сгущения простых. Если на интервале нет степеней простых, то все $J(x)$ кроме первой будут одинаковы и значит сгущения должны выражаться большой разницей двух сумм по нулям из первой строки, ведь $\operatorname{li}()$ монотонен, а остальные два члена на малом интервале (с диаметр кортежа) роли не играют.

Я не понимаю про какие экстремумы Вы говорите. Про экстремум функции $f(x)=\sum\limits_\rho \operatorname{li}(x^\rho)$ с фиксированным набором нулей что ли? Но ведь наличие экстремума на интервале не гарантирует максимальную разницу значений на концах интервала (сгущение).

И снова повторю, для малых чисел (до 1e16) вовсе нет нужды считать сумму по миллионам и миллиардам нулей дзета функции Римана, вполне можно быстро получить её точное значение (да, вот прям по всем нулям!), разложением $J(x)$ через $\pi(x)$, которые и считать (получив точное значение $J(x)$ вычесть остальные три слагаемых вообще ни разу не проблема). Т.е. для набора статистики (а не разбирательства как быстрее считать сумму по нулям) Вам не миллионы нулей нужны, а быстрое вычисление $\pi(x)$, для чего в PARI есть primepi() (до примерно 1e9 быстра) или primecount.exe, считающая быстро до 1e17, плюс простой цикл по корням степени, ну как обычно.

Вы бы чётче ставили задачу, не "вывести кортежный аналог формулы Римана" или "разобраться как быстро считать сумму по нулям", а например "изучить поведение $J(x)$ (или суммы по нулям из неё) в зависимости от $x$" - потому что для многих задач помельче есть обходные пути, гораздо более простые. Например $J(x)$ испытывает скачок лишь на простых и степенях простых, а учитывая что кроме суммы по нулям остальные слагаемые монотонны, значит за скачок отвечает именно сумма по нулям. Ну а раз степени простых нам не интересны, то надо изучать как ведёт себя сумма по нулям от простых (другие просто не интересны). Может у неё есть какие-то особенности когда $x$ простое и вдруг именно для таких $x$ и можно как-то упростить вычисление суммы.

-- 29.05.2025, 17:24 --

wrest в сообщении #1688050 писал(а):

Можно разные части скормить разным однопоточным инстансам pari, доверив разделение времени операционной системе.

Можно. Лень писать код. Ибо не вижу практического смысла в нём. Как его применить для заявленной цели темы (хм, она кстати и не заявлена).
И есть подозрения что много разных данных можно получить гораздо более простыми способами.

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1688061 писал(а):

Про экстремум функции $f(x)=\sum\limits_\rho \operatorname{li}(x^\rho)$ с фиксированным набором нулей что ли?

Да.

Разумеется я понимаю, что сумму по всем нулям для низин можно получить простым вычитанием. И я уже давно кое-что посчитал.

Dmitriy40 в сообщении #1688061 писал(а):

Вы бы чётче ставили задачу, не "вывести кортежный аналог формулы Римана"

Это как раз в заголовке, хотя и более обобщённо. Толку-то от того что я поставлю задачу... До её решения пока как до Сириуса на карете.

Dmitriy40 в сообщении #1688061 писал(а):

"изучить поведение $J(x)$ (или суммы по нулям из неё) в зависимости от $x$"

Именно суммы по нулям, в ней вся соль. Только нули отвечают за флуктуации. Я потому и смотрел даже отдельные нули. Их влияние на сумму различно. Самый влиятельный — 1-й ноль. Нули эти одни и те же. Можно хотя бы очень приблизительно понять как будет вести себя хотя бы первая тысяча нулей? Что можно понять по экстремумам? Можно ли по ним предсказывать где находятся очень плотные либо очень дырявые кортежи? Вроде бы да, особенно если экстремум совершает скачок.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1688064 писал(а):

Разумеется я понимаю, что сумму по всем нулям для низин можно получить простым вычитанием.

Интересно, что в формуле Римана $li(x)$ значительно больше $\pi(x)$, в такой степени, что вычитание сумма по нетривиальным нулям все равно сохраняет соотношение $J(x)>\pi(x)$.

Цитата:

изучить поведение $J(x)$ (или суммы по нулям из неё) в зависимости от $x$. Именно суммы по нулям, в ней вся соль. Только нули отвечают за флуктуации.

Это верно.

Цитата:

Я потому и смотрел даже отдельные нули. Их влияние на сумму различно. Самый влиятельный — 1-й ноль. Нули эти одни и те же. Можно хотя бы очень приблизительно понять как будет вести себя хотя бы первая тысяча нулей?

Да, по первой тысяче нулей можно найти точное количество простых примерно до $10^6$. Для $10^{24}$ требуется значительно большее число нетривиальных нулей.

Цитата:

Что можно понять по экстремумам? Можно ли по ним предсказывать где находятся очень плотные либо очень дырявые кортежи? Вроде бы да, особенно если экстремум совершает скачок.

Это конечно интересно.

[Yadryara]

Период (расстояние между экстремумами) для 1-го нуля стремится каждый раз увеличиваться в $1.2488968123460388$ раза.

Для второго нуля эта константа заметно меньше — $1.1611870594120$

То есть предсказать для того или иного нуля экстремальную точку не проблема, если хорошо знать константу.

[Yadryara]

В интересующем диапазоне $10^1 - 10^{30}$, 1-й ноль достигает экстремума всего лишь 301 раз, 2-й ноль — 447 раз. Соответственно, не очень трудно определить места, где экстремумы двух первых нулей очень близки. Отобрав самые близкие (отличие не более 0.2%), уже из них отобрал резонансные, то есть с совпадающими знаками. Посмотрим на эту пару:

                                   x       локальный
                                             минимум
1-й ноль 3681364231466747954932446.1   -4793918662.5
2-й ноль 3676866731178485205019163.0   -3223475111.0
Сумма                                  -8017393773.5

Нетрудно увидеть, что величины минимумов соотносятся обратно самим нулям:

$$\frac{-4793918662.5}{-3223475111.0} \approx 1.487 \approx \frac{21.0220396}{14.1347251}$$

Нетрудно понять, что сумма по этим двум вошедшим в резонанс нулям как раз и будет примерна равна сумме этих экстремумов, то есть примерно 8 миллиардам и 17 миллионам.
Так и есть, экстремум суммы двух первых нулей достигается примерно при $3.67867428365983 \cdot 10^{24}$ и примерно равен этой величине:

sum      2   3678674283659830000000000    -8016965498
sum   1000   3678674283659830000000000   -12546092175 
sum  10000   3678674283659830000000000   -11710459459 
sum 100000   3678674283659830000000000   -12089277708 

Обращает на себя внимание, какой гигантский вклад вносит сумма всего лишь по двум нулям в общую сумму по нулям дзета-функции. 8 миллиардов дают 2 нуля и лишь 4 миллиарда остальные 99998 нулей.

Таким образом, довольно быстро определена область с существенным недостатком простых чисел, в которой конечно преобладают дырявые кортежи.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1688275 писал(а):

Отобрав самые близкие (отличие не более 0.2%), уже из них отобрал резонансные, то есть с совпадающими знаками.

Просьба - не надо вводить в математике такие термины, как "резонансные". Так и пишите - с одинаковыми знаками. Вы потом их используете по тексту и приходится находить место, где Вы их ввели впервые. Это усложняет чтение текста.

-- 31.05.2025, 10:49 --

Yadryara в сообщении #1688275 писал(а):

Таким образом, довольно быстро определена область с существенным недостатком простых чисел, в которой конечно преобладают дырявые кортежи.

Что такое недостаток простых чисел? По-моему они обладают одними достоинствами

[Yadryara]

vicvolf в сообщении #1688278 писал(а):

Что такое недостаток простых чисел?

Сначала у меня было написано "недобор", но ведь и к этому можно придраться

vicvolf в сообщении #1688278 писал(а):

Просьба - не надо вводить в математике такие термины, как "резонансные".

Тогда уж и к маятнику надо было придраться.

Вы лучше скажите, как в работе Платта посчитали количество простых чисел. Не как обосновали, что этот подсчёт правильный, а именно как посчитали. Может быть позднее придёт понимание.

Вот они взяли полосу $ 10^{24}\pm 6\cdot10^{15}$ Что они дальше делали?

Yadryara в сообщении #1688275 писал(а):

В интересующем диапазоне $10^1 - 10^{30}$, 1-й ноль достигает экстремума всего лишь 301 раз, 2-й ноль — 447 раз.

Кстати, если $447$ разделить на $301$, то тоже будет очень близко к $1.487$

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1688285 писал(а):

vicvolf в сообщении #1688278 писал(а):

Что такое недостаток простых чисел?

Сначала у меня было написано "недобор", но ведь и к этому можно придраться

Поясните, что это такое, а потом решим, как назвать.

-- 31.05.2025, 12:39 --

Yadryara в сообщении #1688285 писал(а):

vicvolf в сообщении #1688278 писал(а):

Просьба - не надо вводить в математике такие термины, как "резонансные".

Тогда уж и к маятнику надо было придраться.

Это не придирка. Не надо вводить новых терминов. Они разбросаны потом по сообщениям и на их нахождение уходит много времени, надоедает и перестаешь читать.

-- 31.05.2025, 12:44 --

Yadryara в сообщении #1688285 писал(а):

Может быть позднее придёт понимание.

Не придет. Если Вы сейчас не сделаете над собой небольшое усилие, то и дальше будете пользоваться формулами, которые не понимаете.

[Yadryara]

vicvolf в сообщении #1688292 писал(а):

Поясните, что это такое, а потом решим, как назвать.

Ну вот давайте возьмём то, что Дмитрий считал:

Используется синтаксис Text

   x = 155921
                    Сумма
                 по нулям
  1:   14389.037   17.067   -0.693    0.000   = 14405.411
  2:     -42.280    0.100    0.347   -0.000   =   -41.834
  3:      -6.479   -0.124    0.231   -0.000   =    -6.372
  5:      -1.312    0.107    0.139   -0.000   =    -1.067 
  6:       0.821    0.044   -0.116    0.001   =     0.750 
  7:      -0.564   -0.034    0.099   -0.001   =    -0.500 
 10:       0.243    0.023   -0.069    0.003   =     0.200 
 11:      -0.194    0.044    0.063   -0.004   =    -0.091 
 13:      -0.129    0.004    0.053   -0.005   =    -0.077 
 14:       0.107    0.008   -0.050    0.006   =     0.071
 15:       0.089    0.017   -0.046    0.007   =     0.067
 17:      -0.063   -0.028    0.041   -0.008   =    -0.059
_________________________________________________________
                   17.228                       14356.500
 

Функция $\pi(x)$ ступенчатая. Линия тренда, которая получается в результате счёта по всем столбцам кроме того, где сумма по дзета-нулям, проходит то выше то ниже этих ступенек. В данном случае она проходит ниже ступеньки, и чтобы получить $\pi(x)$, надо добавить $17.228$ и поправочную добавку $0.500$.

То есть имеется перебор простых чисел, их на 17 больше чем по тренду.

Когда сумма столбца с суммами по дзета-нулям положительна, она говорит о переборе простых чисел, когда отрицательна — о недоборе.

Мы видим что эта сумма сумм $17.228$ на 99% состоит из самой верхней суммы $17.061$, потому что выбрана точка экстремума. Очевидно, что так будет и в других экстремальных случаях. Поэтому проще смотреть только на самую верхнюю сумму. В особо важных случаях, конечно нетрудно будет посчитать и весь столбец.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1688042 писал(а):

В-третьих, если Вы хотите просто проверить точность вычисления формулы Римана с 10млн нулей, то это сильно проще и для этого не надо набирать кучу статистики, вот:

Используется синтаксис Text

n=155921
  1:                          14389.0370810906              17.0674522471         -0.6931471806          0.0000000000  =                         14405.4113861571
  2:                            -42.2802358371               0.0997350812          0.3465735903         -0.0000002488  =                           -41.8339274144
  3:                             -6.4789166691              -0.1243403752          0.2310490602         -0.0000129638  =                            -6.3722209479
  5:                             -1.3122730261               0.1072749823          0.1386294361         -0.0002978887  =                            -1.0666664964
  6:                              0.8213114166               0.0435656436         -0.1155245301          0.0006474669  =                             0.7499999970
  7:                             -0.5638964859              -0.0339993911          0.0990210258         -0.0011250378  =                            -0.4999998891
 10:                              0.2430228397               0.0232568337         -0.0693147181          0.0030351361  =                             0.2000000914
 11:                             -0.1938109652               0.0436362423          0.0630133801         -0.0037480044  =                            -0.0909093473
 13:                             -0.1289850667               0.0039348721          0.0533190139         -0.0051919374  =                            -0.0769231181
 14:                              0.1069241061               0.0081097929         -0.0495105129          0.0059051828  =                             0.0714285689
 15:                              0.0892958839               0.0169753052         -0.0462098120          0.0066051261  =                             0.0666665032
 17:                             -0.0632096301              -0.0284337889          0.0407733636         -0.0079529708  =                            -0.0588230262
14389.037081090565938281780070180898713\\li(n)
14356.500011078238148023773800925770675
14357\\pi(n)

Обращу внимание что значение 14356.5 - точное, именно на 0.5 меньше $\pi(155921)=14357$ - так задана $J(x)$.

Используется синтаксис Text

n=156007
  1:                          14396.2292918073              10.8744128520         -0.6931471806          0.0000000000  =                         14406.4105574787
  2:                            -42.2893416816               0.1088422784          0.3465735903         -0.0000002486  =                           -41.8339260615
  3:                             -6.4797440870              -0.1235129118          0.2310490602         -0.0000129585  =                            -6.3722208971
  5:                             -1.3123738289               0.1073768627          0.1386294361         -0.0002978108  =                            -1.0666653409
  6:                              0.8213678051               0.0435094375         -0.1155245301          0.0006473214  =                             0.7500000339
  7:                             -0.5639328440              -0.0339634517          0.0990210258         -0.0011248142  =                            -0.5000000840
 10:                              0.2430380851               0.0232421127         -0.0693147181          0.0030346717  =                             0.2000001515
 11:                             -0.1938233972               0.0436486028          0.0630133801         -0.0037474666  =                            -0.0909088809
 13:                             -0.1289939660               0.0039430386          0.0533190139         -0.0051912673  =                            -0.0769231809
 14:                              0.1069318443               0.0081029247         -0.0495105129          0.0059044539  =                             0.0714287099
 15:                              0.0893027065               0.0169693819         -0.0462098120          0.0066043428  =                             0.0666666192
 17:                             -0.0632151111              -0.0284296163          0.0407733636         -0.0079520908  =                            -0.0588234547
14396.229291807254365572118199681946613\\li(n)
14357.499185093295663523388798446899407
14358\\pi(n)

Каждая строка с 10млн нулями

А что считается в разных строках?

Dmitriy40 в сообщении #1688042 писал(а):

В-четвёртых, раз уж точное значение $J(x)$ несложно вычислить через $\pi(x)$ для небольших $x$ (до 1e17 уж точно), то соответственно можно узнать точное значение второго слагаемого (суммы).

По-моему на PARI есть команда и для вычисления и $J(x)$.

Dmitriy40 в сообщении #1688042 писал(а):

В-пятых, все значения $J(x)$ будут одинаковы если выполняется условие $\lfloor \sqrt[k]{a} \rfloor = \lfloor \sqrt[k]{b} \rfloor, k=1\ldots\infty$ для двух чисел $a,b$, т.е. выше правая колонка (это и есть $J(x)$) во всех строках кроме первой должна быть одинаковой. Все отклонения - результат погрешностей вычислений, в основном из-за недостатка количества нулей.

Не понял. У Вас же везде 10 млн. нулей?