Трудности с пониманием тензора

[Gyros]

Всех приветствую!

Столкнулся с проблемой понимания тензора.

Из темы
https://dxdy.ru/topic111446-30.html

Цитата:

Математики обычно определяют тензор как полилинейную функцию, то есть функцию нескольких векторных (и ковекторных! - мое примеч.) переменных, которая линейна по каждому из аргументов. Тензор линейно преобразует элементы одного линейного пространства в элементы другого, что бы это ни значило. Частными случаями тензоров являются скаляры, векторы, билинейные формы и так далее.

А если задан тензор валентности (1,1), т.е. линейный оператор и, как полилинейная функция, он должен принимать один векторный и один ковекторный аргументы.

Так вот, допустим оператор задан матрицей 3x3. Действие оператора заключается в умножении на вектор (это тот первый аргумент вектор-столбец?).
Но он же должен (как полилин. ф-ция) "съедать" и еще один аргумент - ковектор (вектор-строка).
Где он его "ест"?

Кто подскажет, как это работает?
Если можно - пример с числами или ссылку на упражнение в задачнике, где именно этот аспект с лин. оператором раскрывается.

Заранее спасибо за содержательные ответы по существу.

[Евгений Машеров]

С другой стороны.
$y=Ax$
$u=vA$

[dgwuqtj]

Gyros в сообщении #1688027 писал(а):

Так вот, допустим оператор задан матрицей 3x3. Действие оператора заключается в умножении на вектор (это тот первый аргумент вектор-столбец?).
Но он же должен (как полилин. ф-ция) "съедать" и еще один аргумент - ковектор (вектор-строка).
Где он его "ест"?

Вот у вас есть векторное пространство $V = \mathbb R^3$, вектор $v = \Bigl(\begin{smallmatrix} 2 \\ -1 \\ 5\end{smallmatrix}\Bigr)$, ковектор $\alpha = (-6 \enskip 1 \enskip 2) \colon V \to \mathbb R$ и оператор $A = \Bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\Bigr) \colon V \to V$. Тогда действие $A$ на $v$ — это просто применение, $A v = A(v) = \Bigl(\begin{smallmatrix} -1 \\ 5 \\ 2\end{smallmatrix}\Bigr)$. Умножение $\alpha$ и $A$ — это их композиция $V \to V \to \mathbb R$, то есть $\alpha A = (2 \enskip -6 \enskip 1)$. А произведение всех трёх объектов — это $(\alpha A) v = \alpha (A v) = \alpha(A(v)) = 15$.

Пока вы ограничиваетесь линейными операторами, векторами и ковекторами, удобно использовать матричные обозначения. Для записи тензоров ранга $(2, 0)$ и $(0, 2)$ тоже можно использовать матрицы, но уже придётся добавлять транспозицию. А для старших тензоров с обозначениями всё хуже, есть только абстрактная запись в духе правила Эйнштейна.

[drzewo]

Gyros в сообщении #1688027 писал(а):

Столкнулся с проблемой понимания тензора.

Почитайте Халмоша "Конечномерные векторные пространства" Там есть параграф "Тензорные произведения". Он Вам поставит правильное восприятие этих вещей. А потом возвращайтесь:)

[KregSeptim]

Gyros в сообщении #1688027 писал(а):

Математики обычно определяют тензор как полилинейную функцию, то есть функцию нескольких векторных (и ковекторных! - мое примеч.) переменных, которая линейна по каждому из аргументов

Да нет. Математики определяют тензор неким универсальным свойством, которое связывает полилинейные и линейные операторы.

Gyros в сообщении #1688027 писал(а):

Где он его "ест"?

Нигде. Конкретно оператор ничего не ест. Линейный оператор и, скажем, тензорное произведение вектора на ковектор - формально разные сущности, но между ними существуют некие естественные изоморфизмы.

[drzewo]

Для начала.

Пусть $X,Y$ -- конечномерные линейные пространства над $\mathbb{R};\quad\dim X=n,\quad \dim Y=m$.
Через $B$ обозначим линейное пространство билинейных функций $f:X\times Y\to\mathbb{R}$.

Определение.
1) Тензорным произведением пространств $X,Y$ называется пространство $B'$ -- сопряженное к $B$. Оно обозначается $X\otimes Y$.
2) Тензорным произведением элементов $x\in X,\quad y\in Y$ называется элемент
$x\otimes y\in B'=X\otimes Y$, который определен следующим образом:

$$(x\otimes y)(f):=f(x,y).$$

Теорема. Пусть $u_i$ -- базис в $X$, а $v_j$ -- базис в $Y$. Тогда $u_i\otimes v_j$ -- базис в $X\otimes Y$.

(Оффтоп)

Доказательство. Множество $\{u_i\otimes v_j\}$ состоит из $nm$ элементов, при этом $\dim B'=\dim B=nm.$
Покажем, что элементы $\{u_i\otimes v_j\}$ линейно независимы. Действительно, приравняем к нулю линейную комбинацию

$$\lambda^{ij}u_i\otimes v_j=0.$$

Пусть $u^i,\quad v^j$ -- взаимные базисы в $X'$ и $Y'$ соответсвенно:

$$u^i(u_k)=\delta_k^i,\quad v^j(v_s)=\delta^j_s.$$

Введем билинейные функции

$$f^{ij}(x,y)=u^i(x)v^j(y),\quad f^{ij}\in B.$$

Тогда

$$\lambda^{ij}(u_i\otimes v_j)(f^{pr})=\lambda^{ij}\delta^p_i\delta^r_j=0\Longrightarrow \lambda^{ij}=0.$$

Теорема доказана.

Определение. Тензором типа $(p,q)$ ($q$ раз контравариантным и $p$ раз ковариантным) на пространстве $X$ называется элемент тензорного произведения

$$X\otimes\ldots\otimes X\otimes X'\otimes\ldots\otimes X',$$

в этом произведении $p$ штук пространств $X'$ и $q$ штук пространств $X$.

-- 29.05.2025, 22:31 --

Зачем так сложно? -- Затем, что тензорное произведение это способ из билинейных отображений делать линейные.
Действительно, обозначим через $\xi:X\times Y\to X\otimes Y$ отображение $(x,y)\mapsto x\otimes y$. Пусть $A:X\times Y\to Z$ -- билинейное отображение в какое-нибудь линейное пространство $Z$. Тогда существует и при том единственное линейное отображение $g:X\otimes Y\to Z$ такое, что $A=g\xi.$
$g(u_i\otimes v_j)=A(u_i,v_j).$