Задачи из учебника Лузина

[Without Name]

Задача: вычислить производную функции $y=\frac{1-x}{x}$ по определению производной.

Я пропущу свои вычисления для краткости и покажу только предел, который у меня получился в конце: $\lim\limits_{\Delta x \to 0}^{} \frac{-1}{x(x+\Delta x)} = -\frac{1}{x^2}$

Как правильно и математически строго вычислить этот предел? Я просто прикинул, что $(x+\Delta x)$ эквивалентно $x$, т.к. $\Delta x$ бесконечно мало, и умножил $x$ на $x$. Но думаю, что я поступил не совсем корректно и это вычисляется как-то по-другому.

[drzewo]

Without Name в сообщении #1687726 писал(а):

сления для краткости и покажу только предел, который у меня получился в конце: $\lim\limits_{\Delta x \to \infty}^{} \frac{-1}{x(x+\Delta x)} = -\frac{1}{x^2}$

к $\infty$ да?

[Without Name]

Ой, опечатка, к нулю же
Поправил

[Dedekind]

Without Name
Теорема об арифметических свойствах предела. Предел частного равен частному пределов (если предел знаменателя не ноль) и т.д. Применяете по очереди, пока не доберетесь до $\lim\limits_{\Delta x \to 0}^{} \Delta x$

[Евгений Машеров]

Ну, например, вспомнить геометрическую прогрессию.
$1+z+z^2+z^3+\cdots=\frac 1 {1-z}$
Вынесем за знак предела то, что к пределу не стремится, а за z возьмём... (тут Шехерезада прекращает дозволенные речи)