Задачи из учебника Лузина

[Without Name]

задача № 1

Задача: вычислить производную функции $y=\frac{1-x}{x}$ по определению производной.

Я пропущу свои вычисления для краткости и покажу только предел, который у меня получился в конце: $\lim\limits_{\Delta x \to 0}^{} \frac{-1}{x(x+\Delta x)} = -\frac{1}{x^2}$

Как правильно и математически строго вычислить этот предел? Я просто прикинул, что $(x+\Delta x)$ эквивалентно $x$, т.к. $\Delta x$ бесконечно мало, и умножил $x$ на $x$. Но думаю, что я поступил не совсем корректно и это вычисляется как-то по-другому.

[drzewo]

Without Name в сообщении #1687726 писал(а):

сления для краткости и покажу только предел, который у меня получился в конце: $\lim\limits_{\Delta x \to \infty}^{} \frac{-1}{x(x+\Delta x)} = -\frac{1}{x^2}$

к $\infty$ да?

[Without Name]

Ой, опечатка, к нулю же
Поправил

[Dedekind]

Without Name
Теорема об арифметических свойствах предела. Предел частного равен частному пределов (если предел знаменателя не ноль) и т.д. Применяете по очереди, пока не доберетесь до $\lim\limits_{\Delta x \to 0}^{} \Delta x$

[Евгений Машеров]

Ну, например, вспомнить геометрическую прогрессию.
$1+z+z^2+z^3+\cdots=\frac 1 {1-z}$
Вынесем за знак предела то, что к пределу не стремится, а за z возьмём... (тут Шехерезада прекращает дозволенные речи)

[Without Name]

задача № 2

Продифференцировать функцию: $r=\frac{1+\theta^2}{1-\theta^2}$ по правилу дифференцирования функции от функции.

Я дифференцировал так: $r=\frac{1+u}{1-u}, u=\theta^2$

$\frac{dr}{d\theta}=\frac{dr}{du}\cdot \frac{du}{d\theta} = \frac{(1+u)\frac{d}{du}(1-u) - (1-u)\frac{d}{du}(1+u)}{(1-u)^2}\cdot \frac{du}{d\theta} = \frac{-1 - u - 1 + u}{(1-u)^2}\cdot 2\theta = -\frac{4\theta}{(1-\theta^2)^2}$

В упор не вижу, откуда здесь взялся минус? В ответе в учебнике минуса нет. Помогите, пожалуйста, разобраться.

[Ende]

Without Name
Вообще, принято для каждой задачи создавать отдельную тему. Если хотите обсуждать в одной теме несколько задач по очереди, то хотя бы давайте им заголовки, например: задача № 2. Важно, чтобы читателям темы сразу было видно, где закончилась предыдущая задача и началась следующая. Сейчас я сделал это за Вас. В дальнейшем делайте, пожалуйста, сами.

[Without Name]

Хорошо. Буду делать заголовки. Просто нет смысла под каждую задачу создавать отдельную тему.

[yesterday]

$(ab^{-1})'=(a'b-b'a)b^{-2}$. У вас наоборот в числителе.

[Without Name]

А почему в учебнике это правило записано иначе?
Ой, вроде так же написано, это я что-то напутал



-- 06.08.2025, 09:19 --

Да, я при расчетах перепутал, вы правы.

[Without Name]

Задача 3

Продифференцировать функцию: $y=\frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2}$

Мое решение: $y = \frac{b}{a}\sqrt{u}, u = a^2 - x^2

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=\frac{b}{a}\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot (-2x)=-\frac{b}{a}\frac{x}{\sqrt{u}}=-\frac{b}{a}\frac{x}{\sqrt{a^2 - x^2}}$$

Это неправильный ответ. Где я ошибся? Правильный ответ:

$$-\frac{b^2 x}{a^2 y}$$

[Combat Zone]

Вы не ошиблись, это то же самое.

[Without Name]

Задача 4.
Продифференцировать неявную функцию: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

Решение: $\frac{2x}{a^2} - \frac{2y\frac{dy}{dx}}{b^2} = 0$
$\frac{2y\frac{dy}{dx}}{b^2} = \frac{2x}{a^2}$

Как дальше выразить отсюда $\frac{dy}{dx}$?

-- 12.08.2025, 08:37 --

Вроде, догадался. По правилу пропорции: $2a^2 y \frac{dy}{dx} = 2b^2 x$
$\frac{dy}{dx} = \frac{b^2 x}{a^2 y}$

[maxmatem]

Without Name

(Оффтоп)

Мне кажется Вам проще будет в таких учебных упражнениях производную просто обозначать $y^{\prime}$

[Combat Zone]

maxmatem

(Оффтоп)

Я так понимаю, он учится по учебнику (задачнику) и, наверное, пока лучше придерживаться тамошних обозначений. Хотя на форуме оформлять было бы быстрее со штрихом, конечно.