Замкнутые траектории

[drzewo]

Рассмотрим гладкую динамическую систему

$$\ddot x=-y-\frac{\partial V}{\partial x},\quad \ddot y=x-\frac{\partial V}{\partial y},\quad V=V(x,y),\quad (x,y)\in\mathbb{R}^2.$$

Пусть $\big(x(t),y(t)\big)$ -- периодическое решение данной системы не являющееся положением равновесия.
Доказать, что замкнутая кривая, которая является траекторией этого решения на плоскости $(x,y)$ имеет самопересечения.

[Padawan]

Под периодическим решением будем понимать такое решение, для которого существует $T>0$ такое, что $(x(t+T),y(t+T))=(x(t),y(t))$ для всех $t$.
Предположим, что существует периодическое решение $(x(t),y(t))$, траектория которого за период $[0,T]$ описывает границу области $D$. Тогда по теореме о приращении кинетической энергии и по формуле Грина

$$ 0=\int_{\partial D} \ddot xdx+\ddot y dy=\int_{\partial D} \left(-y-\frac{\partial V}{\partial x}\right)dx+\left(x-\frac{\partial V}{\partial y}\right)dy= $$ $$ =\iint_D\left(\frac{\partial}{\partial x}\left(x-\frac{\partial V}{\partial y}\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(-y-\frac{\partial V}{\partial x}\right)\right)=2\mu D $$

Противоречие.

А вот можно ли доказать, что не существует замкнутых (не самопересекающихся) траекторий?

[drzewo]

Padawan в сообщении #1687331 писал(а):

А вот можно ли доказать, что не существует замкнутых (не самопересекающихся) траекторий?

Не уверен, что я Вас правильно понял.

Верна такая теорема.
Пусть движение происходит по замкнутой кривой $\gamma\subset \mathbb{R}^2$, которая параметрически может быть задана гладкой $\omega-$периодической функцией

$$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2,\quad df\ne 0,\quad f(s+\omega)=f(s).$$

Если движение движение по кривой $\gamma$ происходит так, что точка за конечное время совершает полный оборот, то это движение периодично по времени.
Соответственно, ответ на Ваш вопрос сводится к уже рассмотренной ситуации.

[Padawan]

drzewo в сообщении #1687343 писал(а):

Пусть движение происходит по замкнутой кривой $\gamma\subset \mathbb{R}^2$, которая параметрически может быть задана гладкой $\omega-$периодической функцией

$$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2,\quad df\ne 0,\quad f(s+\omega)=f(s).$$

Если движение движение по кривой $\gamma$ происходит так, что точка за конечное время совершает полный оборот, то это движение периодично по времени.

$s$ -- натуральный параметр? Короче, из периодичности по координатам следует периодичность по времени? Интересно, надо подумать. Это общий факт, или для Вашей системы?

[drzewo]

Это для систем вида $\ddot x=f(x),\quad x\in\mathbb{R}^m,\quad m\ge 2$

[svv]

Padawan
Пусть известна несамопересекающаяся траектория $\gamma$ движения точки на плоскости $(x,y)$, а также известно, в каком направлении (из двух) движется по ней точка. Тогда в каждой точке $P\in\gamma$ известны:
— направление скорости (единичный касательный вектор к траектории, направленный в сторону движения);
— ускорение $(\ddot x, \ddot y)$, т.к. в силу ДУ оно определяется координатами;
— а следовательно, и нормальное ускорение.
Из кинематики известно, что нормальное ускорение движущейся точки равно $kv^2$, где $k$ — кривизна траектории, $v$ — модуль скорости. Следовательно, если $k(P)\neq 0$, также известен модуль скорости. Т.е. известен и вектор скорости.

[Padawan]

svv
Да, спасибо, понятно. Достаточно приехать хотя бы в одну точку с той же скоростью, тогда по теореме единственности ОДУ, решение будет периодическим. А точка с ненулевой кривизной найдется.