Целочисленная последовательность.

[Руст]

Пусть определены последовательности по рекуренции:

$$a_0=1,a_{n+1}=\frac 12 (a_n+\frac{1}{3a_n}),b_n=\sqrt{\frac{3}{3a_n^2-1}}$$

Доказать, что последовательность $b_n,n\ge 1$ целочисленная и имеет как минимум n различных простых делителей.

[maxal]

Немного поколдовав с рекуррентностями можно получить формулу:
$b_{n+1}=2b_n\left(\frac{2}{3}b_{n-1}^2 + 1\right)$
А так как $b_1=3$, то по индукции получаем, что все $b_n$ являются целочисленными и кратными трём.
Утверждение о количестве простых делителей тоже доказывается по индукции.

Может быть также выведена замкнутая аналитическая формула для $b_n$. См. http://mathworld.wolfram.com/NewtonsIteration.html

[Руст]

maxal писал(а):

Немного поколдовав с рекуррентностями можно получить формулу:
$b_{n+1}=2b_n\left(\frac{2}{3}b_{n-1}^2 + 1\right)$
А так как $b_1=3$, то по индукции получаем, что все $b_n$ являются целочисленными и кратными трём.
Утверждение о количестве простых делителей тоже доказывается по индукции.

Может быть также выведена замкнутая аналитическая формула для $b_n$. См. http://mathworld.wolfram.com/NewtonsIteration.html

maxal я не согласен с кубической зависимостью между членами последовательности b, так, что исправьте и подробнее, чтобы поняли и другие.

[незваный гость]

У меня получилось $b_{n+1} = 2 b_n \sqrt{1+b_n^2/3}$. И что-то зело Пифагорейские тройки напоминает...

[Руст]

Это правильное соотношение. Ещё немного и докажете утверждение.

[maxal]

незванный гость писал(а):

:evil:
У меня получилось $b_{n+1} = 2 b_n \sqrt{1+b_n^2/3}$.

Из этого можно вывести "мою" формулу:
$b_{n+1} = 2 b_n \sqrt{1+b_n^2/3}$
$b_{n+1}^2 = 4 b_n^2 (1+b_n^2/3)$
$b_{n+1}^2/3 + 1 = 4 b_n^2 (1+b_n^2/3)/3 + 1 = \frac{4}{9} b_n^4 + \frac{4}{3} b_n^2 + 1 = \left(\frac{2}{3} b_n^2 + 1\right)^2$
Откуда
$b_{n+1} = 2 b_n \sqrt{1+b_n^2/3} = 2 b_n (\frac{2}{3} b_{n-1}^2 + 1)$.

[maxal]

Руст писал(а):

maxal я не согласен с кубической зависимостью между членами последовательности b, так, что исправьте и подробнее, чтобы поняли и другие.

Не соглашаться - Ваше право. Но формула верна, тем не менее. Проверено электроникой

[незваный гость]

maxal писал(а):

Не соглашаться - Ваше право. Но формула верна, тем не менее.

Я тоже не заметил разницу в индексах у первого и второго сомножителей. В ней-то все и дело. На беглый взгляд, формула выглядит кубической, а по сути -- квадратичная...

[maxal]

Если $c_n=b_n/3$, то $c_{n+1} = 2 c_n (6c_{n-1}^2+1)$. Последовательность c_n - это последовательность A071579 в OEIS.

Можно дать явное выражение: $b_n = \sqrt{3(T_{2^{n-1}}(2)^2 - 1)}$, где $T_m(x)$ - многочлен Чебышева первого рода.

[Руст]

Я прошу прощения у maxala, не заметил, что у другого члена индекс n-1.
Незваный гость мог бы довести обозначив подкоренное выражение через $c_n$ и наряду с целым соотношением $b_{n+1}=2b_nc_n$ вывести целое соотношение для $c_{n+1}=...$.