Условная вероятность для экспоненциального распределения

[alexey007]

Всем привет

Решаю такую задачу. Может быть она где-то уже решена

Пусть $ t $ — случайная величина, распределённая по экспоненциальному закону с плотностью вероятности:

$$ \rho(t) = \lambda e^{-\lambda t}, \quad t \ge 0 $$

где $ \lambda > 0 $ — известный параметр распределения.

Пусть число $ t $ сгенерировано из этого распределения, однако его значение нам не известно. Вместо этого дана дополнительная информация: известно, что


$ t \ge a $,


где $ a \in [1, 29] $.

Требуется найти условную вероятность того, что $ t \ge 30 $, при условии, что $ t \ge a $. То есть, найти аналитическое выражение для вероятности

$$ P(t \ge 30 \mid t \ge a). $$

То, до чего смог дойти
Так как экспоненциальное распределение обладает свойством отсутствия памяти, условная вероятность вычисляется как:


$P(t \ge 30 \mid t \ge a) = e^{-\lambda(30 - a)}, \quad \text{если } a < 30; \quad P = 1, \text{ если } a \ge 30.$

Но, сделал Монте-Карло и не очень совпадает. При $\lambda = 1/7$ ну вроде неплохо совпадает, но при $\lambda=1/90$ не совпадает совсем
Подскажите куда двигаться в каком направлении

[Евгений Машеров]

$p_a(t)=\begin{cases} k\lambda e^{-\lambda t},&\text{если $t\ge a$;}\\ 0,&\text{если $t<a$;} \end{cases}$
Коэффициент k выбирается такой, чтобы $\int_a^\infty p_a(t) dt=1$

[Combat Zone]

Нормальная вероятность, при реализации Монте-Карло, скорее всего, ошиблись. Смотрите сами, где.