Доказательство длины окружности через описанный квадрат

[geodx]

Уважаемые форумчане, подскажите пожалуйста )) Нашел на ютубе неверное доказательство поиска длины окружности через описанный квадрат. На четвертой минуте https://www.youtube.com/watch?v=VYQVlVoWoPY.

Длина всех сторон квадрата равна $8$ радиусам окружности. Начинаем изламывать углы и заворачивать их внутрь. Периметр при этом остается неизменным - $8R$. В пределе "заворачиваем" все неровности квадрата до такой степени, что он становится неотличим от окружности. По идее длина окружности должна быть $8R$, но реальная длина окружности на четверть меньше.

В упор не понимаю, куда девается четвертинка. Какой-то парадокс при неосторожном обращении с пределами. Приходят на ум фракталы, у которых с их зубастой границей происходит не пойми что; которая может быть вообще бесконечной длины при небольшом размере фрактала.

[sergey zhukov]

geodx
Таким же образом "доказывается", что длина диагонали единичного квадрата равна 2.

Эти примеры показывают, что бесконечная близость двух кривых во всех точках еще не делает их тождественными. Бесконечно "изломанная" кривая не гладкая, это кардинально отличает ее от гладких кривых. Такая линия может быть насколько угодно длинее гладкой кривой, и при этом насколько угодно близкой к ней.

Периметр этого единичного круга равен $2\pi$, так что периметр этой фрактальной фигуры больше в $\frac{4}{\pi}$ раз.

[zykov]

sergey zhukov
Не думаю, что дело в гладкости.
Так же можно "аппроксимировать" гладким синусом и получить любую длинну.
geodx
Чтобы получить в пределе длинну кривой, надо её аппроксимировать цепью точек, а не какой-то произвольной (пусть и близкой) кривой.
Тогда надо суммировать расстояния между соседними точками (по прямой).
В пределе, точки должны приближатся к кривой и максимальное расстояние между соседними точками должно стремиться к нулю.

[drzewo]

А зачем вообще вся эта фигня? Есть определение длины кривой.

[geodx]

sergey zhukov в сообщении #1686072 писал(а):

geodx
Бесконечно "изломанная" кривая не гладкая, это кардинально отличает ее от гладких кривых. Такая линия может быть насколько угодно длиннее гладкой кривой, и при этом насколько угодно близкой к ней.

Но ведь при интегрировании гладкая функция тоже заменяется ступенчатой фигурой, но там все нормально.

[dgwuqtj]

geodx
Ну вот так мир устроен, что интеграл и площадь под графиком непрерывно зависят от функции относительно $\sup$-нормы, а длина графика — нет. Если брать график у абы какой непрерывной функции, то его длина даже может быть бесконечной.

[geodx]

dgwuqtj в сообщении #1686079 писал(а):

geodx
Ну вот так мир устроен, что интеграл и площадь под графиком непрерывно зависят от функции относительно $\sup$-нормы, а длина графика — нет. Если брать график у абы какой непрерывной функции, то его длина даже может быть бесконечной.

А что такое $\sup$-норма? График интегрируемой функции четко задает границу, за которую нельзя заходить? Ну так и круг ее вроде как задает?

[drzewo]

Аккуратные математические определения нужны в том числе и для того чтобы гасить аппетиты всевозможных праздных болтунов :)

Длиной отрезка кривой, заданной параметрически $\boldsymbol r=\boldsymbol r(t)\in C^1([a,b],\mathbb{R}^3)$ называется число

$$\int_a^b|\boldsymbol{\dot r}(t)|dt.$$

[dgwuqtj]

geodx в сообщении #1686080 писал(а):

А что такое $\sup$-норма?

Если $f, g \colon [a, b] \to \mathbb R$, то площади их подграфиков отличаются не больше, чем на $(b - a) \max_{a \leq t \leq b} |f(t) - g(t)|$. Поэтому если $f$ зафиксировать и устремить $\|f - g\|_{\sup} = \max_{a \leq t \leq b} |f(t) - g(t)|$ к нулю, площадь под графиком $g$ будет стремиться к площади под графиком $f$. А для длин графиков никакой такой оценки написать нельзя.

[geodx]

А почему для графиков нельзя? Выходит, что сравнить площади под кривыми "проще", чем сравнить длины кривых? А как это точно называется?

[mihaild]

drzewo
ИМХО это плохое определение. Верхняя грань длины вписанных ломаных гораздо интуитивнее (и более общее).

geodx в сообщении #1686080 писал(а):

График интегрируемой функции четко задает границу, за которую нельзя заходить? Ну так и круг ее вроде как задает?

Интуитивно примерно так. Вот у Вас есть круг, и его граница - окружность. Возьмем какую-то небольшую область вокруг окружности (множество точек, которые очень близки к какой-то точке окружности). И возьмем в этой области "хорошую" кривую. Эта кривая тоже ограничивает какую-то область на плоскости. И вот площадь ограничиваемой ей области близка к площади, ограничиваемой окружностью (за счет этого работают всякие исчерпания). А вот длина этой кривой, вообще говоря, может быть сколь угодно большой.

[drzewo]

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1686090 писал(а):

Верхняя грань длины вписанных ломаных гораздо интуитивнее

а я вот считаю, что интуитивнее умножать скорость на время.

mihaild в сообщении #1686090 писал(а):

(и более общее)

Может эту большую общность стоит оставить в разделах, использующих негладкие кривые? Это ведь очень специальные разделы.

[geodx]

То есть вычислять длину загибанием краев низзя, а вычислять площадь загибанием краев вполне допустимо?

[amon]

geodx в сообщении #1686071 писал(а):

В пределе "заворачиваем" все неровности квадрата до такой степени, что он становится неотличим от окружности.

На языке родных осин. Проблема в слове "неотличим". Для измерения длины оно должно означать, что длина ломаной стремится к длине кривой, а у Вас к нулю стремится максимальное расстояние между кривой и ломаной. Если выполнено первое "определение неотличимости", то выполнено и второе (для "гладкой кривой", что это такое - разговор отдельный), но обратное неверно, что Вы и продемонстрировали.

[sergey zhukov]

geodx в сообщении #1686078 писал(а):

Но ведь при интегрировании гладкая функция тоже заменяется ступенчатой фигурой, но там все нормально.

Ну да, площадь под бесконечно близкими кривым одинаковая, а длины этих кривых разные. Что тут такого? В конце концов, что мне мешает сложить кривую вот так:

и получть площадь под ней практически ту же, что и под прямой между точками (к которой эта кривая может быть бесконечно близка), а ее длина при этом может быть как угодно больше.

Площадь тоже можно "изломать". Вот, площадь листа гофрированного железа всегда больше площади плоского, даже если расстояние между ними устремить к нулю, измельчая шаг гофрирования.