Остаточная сигма-алгебра

[ihq.pl]

Пусть $\xi_1,\xi_2,...$ - последовательность случайных величин. Надо доказать, что

$$\{\varlimsup_n\xi_n<\infty\}\in\mathcal{X},$$

где $\mathcal{X}$ - остаточная $\sigma$-алгбера, т.е.

$$\mathcal{X}=\bigcap_{n=1}^\infty \mathcal{F}_n^\infty,\quad \mathcal{F}_n^\infty = \sigma(\xi_n,\xi_{n+1},...).$$

Не уверен, что рассуждаю правильно, хотелось бы услышать ваше мнение. Существует последовательность $c_1,c_2,...$ такая, что $c_n\geqslant c_{n+1}$ для любого $n\geqslant 1$ и

$$A = \{\sup_{k \geqslant n} \xi_k < c_n\}.$$

Случайная величина $\sup_{k\geqslant n}\xi_k$ является $\mathcal{F}_n^\infty$-измеримой, т.е. $A\in \mathcal{F}_n^\infty$ для любого $n\geqslant 1$ и следовательно $A\in\mathcal{X}$. Но $c_1$ - любая постоянная, $c_1<\infty$.

[mihaild]

В определении $A$ не хватает кванторов по $n$ и $k$. И ещё наверное надо сказать, что $c_n \to \infty$.
Но я бы просто выразил $\mathcal{X}$ через события из $\mathcal{F}_n^\infty$ явно, это несложно.

[ihq.pl]

mihaild в сообщении #1685406 писал(а):

И ещё наверное надо сказать, что $c_n \to \infty$.

Но у меня последовательность $c_n$ невозрастающая.

[mihaild]

А, я неправильно прочитал. Тогда вообще непонятно, какое отношение $A$ имеет к интересующему нас событию.

[ihq.pl]

Я условие $\varlimsup \xi_n < \infty$ трактовал как $\varlimsup\xi_n < c$ для любого $c<\infty$.

[mihaild]

Но это же неправильно. Правильно - существует такое $c$.

[ihq.pl]

Существует такое $c<\infty$, что $\{\varlimsup \xi_n<c\}\in\mathcal{X}$ ? Но в моем первом посте практически то же самое: пусть $c_1<\infty$ некоторая постоянная, существует последовательность $c_1,c_2,...$ такая, что для любого $n$

$$\{\sup_{k\geqslant n} \xi_k<c_n\} = \{\sup_{k\geqslant 1} \xi_k <c_1\} = A.$$

Последовательность $c_n$ невозрастающая, поэтому существует конечный предел

$$c = \lim_{n\to\infty}c_n.\eqno{(1)}$$

То есть $A = \{\varlimsup \xi_n < c\}$. Впрочем, $(1)$ тоже может быть неправдой. Последовательность $c_n$ хоть монотонно и убывает, но случай $c_n\to-\infty$ тоже ведь исключать нельзя. И тогда вероятность $\mathsf{P}(A)=0$... ерунда какая-то.

[mihaild]

ihq.pl в сообщении #1685528 писал(а):

$\{\sup_{k\geqslant n} \xi_k<c_n\} = \{\sup_{k\geqslant 1} \xi_k <c_1\} $

Слева - свое событие для каждого $n$, вообще говоря, никак не связанное с событием справа.
Зачем вам тут вообще последовательность? Просто распишите определение конечности верхнего предела.

[ihq.pl]

mihaild в сообщении #1685584 писал(а):

Просто распишите определение конечности верхнего предела.

Кажись дошло: для любого $k$

$$\{\varlimsup_n \xi_n<\infty\} = \{\varlimsup_n \xi_{n+k}<\infty\}$$

[mihaild]

ihq.pl
Это правда, и, наверное, от этого можно перейти к нужному результату, но доказательством я бы это не назвал.

[ihq.pl]

mihaild
$\sup_{k\geqslant n}\xi_k$ является $\mathcal{F}_n^\infty$-измеримой. Но $\mathcal{F}_1^\infty\supset \mathcal{F}_2^\infty \supset...$ Поэтому $\varlimsup \xi_n$$-\mathcal{X}$-измеримая.

[ihq.pl]

Как-то не очень хвостовые события для моей интуиции...

Задача: показать, что хвостовое событие является перестановочным.
Решение. Пусть $\xi=(\xi_1,\xi_2,...)$; $A$ - хвостовое событие, и пусть $\pi$ - конечная перестановка, т.е. $\pi$ - это взаимно однозначное отображение натурального ряда в себя, при котором $\pi(n) = n$ для всех $n\in\mathbb{N}$ кроме быть может конечного числа. Событие $A = \{\omega: \xi\in B\}$, где $B\in\mathcal{B}(R^\infty)$. Поскольку $A$ - хвостовое событие, его можно определить и так:

$$A = \{\omega: (\xi_n,\xi_{n+1},...)\in B\},\eqno{(1)}$$

где $n$ может быть любым. Но тогда какой бы ни была перестановка $\pi$, найдется $N$ такое, что

$$A = \{\omega: (\xi_N,\xi_{N+1},...)\in B\} = \pi(A).$$

Это можно считать решением задачи?

[mihaild]

ihq.pl в сообщении #1685931 писал(а):

$A = \pi(A)$

$\pi$ - это функция $\mathbb N \to \mathbb N$, как конкретно Вы продолжаете её на $A$?

[ihq.pl]

mihaild в сообщении #1686009 писал(а):

Вы продолжаете её на $A$?

Это обозначение:

$$\pi(A) = \{\omega:\pi(\xi)\in B\},$$

где $\pi(\xi) = (\xi_{\pi(1)},\xi_{\pi(2)},...)$.

[ihq.pl]

mihaild, или Вы не то имели в виду? Строгое определение перестановки $\pi$ немного другое.