Обобщенные координаты

[drzewo]

По горизонтальной плоскости без проскальзывания катается шар. Положение шара будем задавать следующим образом.
Пусть $\theta,\psi$ -- углы (широта, долгота) задающие точку на поверхности шара. Этими углами будем задавать точку шара, которой он касается плоскости; $\alpha$ -- угол поворота шара вокруг вертикальной прямой, проходящей через точку контакта шара и плоскости. Например, $\alpha$ -- это угол между какой-то заданной прямой на плоскости и вектором касательным к линии меридиана шара в точке контакта.
Являются ли параметры $\theta,\psi,\alpha$ обобщенными координатами (локально)?

[amon]

drzewo в сообщении #1685602 писал(а):

Являются ли параметры $\theta,\psi,\alpha$ обобщенными координатами (локально)?

IMHO, нет. Размышления автомобильные, на строгость не претендуют. При любом движении шара $\dot \theta=\dot\psi=0.$ Значит, невозможно в этих координатах задать начальные условия.

[drzewo]

amon в сообщении #1685661 писал(а):

При любом движении шара $\dot \theta=\dot\psi=0.$

Это то есть как?

[EUgeneUS]

Насколько понимаю, следует выяснить, будут ли $\theta,\psi,\alpha$ однозначно задавать положение шарика на плоскости. Ибо ориентацию шарика они задают однозначно.

Вопрос можно переформулировать так: в условиях наложенной связи (отсутствие проскальзывания) будет ли кривая на сфере однозначно задавать кривую на плоскости.

нельзя так
(del)

[amon]

drzewo в сообщении #1685662 писал(а):

то то есть как?

Не, наверно, соврал. Надо еще подумать. Трафик был большой ;)

[drzewo]

Доказать, что система неголономна -- это задача не очень простая. А вот доказать, что данные углы не являются обобщенными координатами просто.
Решение:

(Оффтоп)

Пусть $\psi$ -угол, который изменяется при движении точки по меридиану. Предположим, что $\theta,\psi,\alpha$ -- обобщенные координаты. Тогда сдвиги

$$\psi\mapsto \psi+h_\psi,\quad \alpha\mapsto\alpha+h_\alpha$$

должны коммутировать. А они не коммутируют.

[Padawan]

drzewo
А все-таки, что в точности значит

drzewo в сообщении #1685602 писал(а):

Являются ли параметры $\theta,\psi,\alpha$ обобщенными координатами (локально)?

Верно ли, что

EUgeneUS в сообщении #1685667 писал(а):

следует выяснить, будут ли $\theta,\psi,\alpha$ однозначно задавать положение шарика на плоскости.

?

[drzewo]

Padawan в сообщении #1685701 писал(а):

А все-таки, что в точности значит

обобщенные координаты это локальные координаты на конфигурационном многообразии

Padawan в сообщении #1685701 писал(а):

Верно ли, что

Да, верно. Слово "локально" все таки следует добавлять.

[Padawan]

drzewo
А конфигурационное многообразие -- это множество всех положений, которые шар может принять, катаясь по плоскости без проскальзывания (две координаты точки касания и три угла, задающие ориентацию шара) ?

[drzewo]

Конфигурационное многообразие, вообще говоря, не определено однозначно. Например, математический маятник можно рассматривать как систему с конфигурационным многообразием $\mathbb{S}^1$, а можно рассматривать как систему с конфигурационным многообразием $\mathbb{R}^2=\{(x,y)\}$ и связью $x^2+y^2=r^2$.

В данном случае вот это:

Padawan в сообщении #1685703 писал(а):

две координаты точки касания и три угла, задающие ориентацию шара

т.е. $\mathbb{R}^2\times SO(3)$ -- подходит, но там еще есть связи. Дальше встает вопрос об интегрируемости связей.

[amon]

drzewo в сообщении #1685674 писал(а):

Тогда сдвиги

$$\psi\mapsto \psi+h_\psi,\quad \alpha\mapsto\alpha+h_\alpha$$

должны коммутировать. А они не коммутируют.

Дурацкий вопрос. Я правильно понимаю что это означает, что если мы возьмем, для простоты, диск, катающийся по плоскости так, что ось вращения всегда параллельна плоскости и введем координаты: угол поворота вокруг оси вращения диска $\psi$ и угол поворота вокруг перпендикулярной плоскости оси, проходящей через центр диска $\alpha,$ то при одних и тех же $\psi$ и $\alpha$ диск будет занимать разную позицию на плоскости в зависимости от того, в каком порядке (сначала по $\psi$ а потом по $\alpha$ или наоборот) я его повернул?

[drzewo]

да

[amon]

Спасибо!

(Оффтоп)

Аналогия с диском пришла в голову сразу, но я в уме придумал функцию Лагранжа для свободно катающегося диска в переменных $\psi$ и $\alpha$ и сдуру решил, что в этом случае связь голономна;)

[EUgeneUS]

(Оффтоп)

amon в сообщении #1685753 писал(а):

Аналогия с диском пришла в голову сразу, но ...

Мне сразу вспомнилась задача из Перельмана про вертолёт, который летает по меридианам и параллелям. Из которой сразу следовал ответ.
Но потом сообразил, что скорость центра шарика однозначно определяется угловой скоростью. Что тоже верно, но вызвало "короткое замыкание"