Нормальные подгруппы и классы смежности

[Dedekind]

Определение нормальной подгруппы в учебнике такое.

Определение. Пусть $H$ - подгруппа группы $G$. Тогда $H$ называется нормальной подгруппой, если для любого $h\in H$ и любого $x\in G$ выполняется $xhx^{-1}\in H$.

Теорема. Пусть $H$ - подгруппа группы $G$. $H$ - нормальная подгруппа тогда и только тогда, когда $aH = Ha$ для любого $a\in G$ (левые и правые классы смежности равны).

Доказательство вправо понятно. Мое доказательство влево.
Пусть $aH = Ha$ для любого $a\in G$. Тогда для любого $h\in H$ существует $h' \in H$ такой, что $ah = h'a$. Следовательно, $h' = aha^{-1} \in H$. Следовательно, по определению, $H$ - нормальная подгруппа.

В этом доказательстве меня смущает, что я использовал не $aH = Ha$, а только $aH \subseteq Ha$. Понятно, что для конечных групп это одно и то же, но, насколько я понимаю, для бесконечных второе может быть более слабым условием. Что я упускаю?

[мат-ламер]

Dedekind в сообщении #1685285 писал(а):

В этом доказательстве меня смущает, что я использовал не $aH = Ha$, а только $aH \subseteq Ha$

А что, нельзя? Более слабым условием мы можем пользоваться, а вот более сильным - нет.

[Dedekind]

мат-ламер в сообщении #1685286 писал(а):

А что, нельзя? Более слабым условием мы можем пользоваться, а вот более сильным - нет.

Да, но просто странно как-то это. Такое чувство, что что-то упускаю.

[RIP]

Да, нормальность эквивалентна $aH \subseteq Ha$ для всех $a$ (по сути, это просто переформулировка определения).
Однако $aH \subseteq Ha \iff Ha^{-1} \subseteq a^{-1}H$, поэтому если $aH \subseteq Ha$ для всех $a$, то и $aH=Ha$. То есть содержательная часть теоремы — это $\implies$.

[Dedekind]

RIP
Спасибо!