Почему функция полного дифференциала должна быть C^1

[AntonioVivaldi]

Здравствуйте
Возник вопрос, почему недостаточно существования частных производных для уравнения в полных дифференциалах.

Почему обязана выполняться теорема Шварца (равенство частных производных), чтобы $U$ была гладкой?


Рассмотрим $P dx + Q dy = y dx - x dy$.
Проверим условие:

$\frac{\partial P}{\partial y} = 1, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = -1.$

Условие $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ не выполняется, значит, $U$ не существует.

Что произойдёт, если попытаться "восстановить" $U$?
1. Интегрируем $P = y$ по $x$:

$$U(x, y) = \int y \, dx = xy + \varphi(y).$$

2. Дифференцируем по $y$:

$$\frac{\partial U}{\partial y} = x + \varphi'(y).$$

3. Приравниваем к $Q = -x$:

$$x + \varphi'(y) = -x \implies \varphi'(y) = -2x.$$

Ошибка!
$\varphi(y)$ должна зависеть только от $y$, но здесь она зависит и от $x$.

[svv]

Пусть $U$ существует. Тогда её значения в двух точках $O$ и $B$ связаны формулой
$U(B)-U(O)=\int\limits_\gamma dU =\int\limits_\gamma \left(\frac{\partial U}{\partial x}dx+\frac{\partial U}{\partial y}dy\right) =\int\limits_\gamma(Pdx+Qdy)$
Тут $\gamma$ — путь (кривая), который начинается в $O$ и заканчивается в $B$. И интеграл не должен зависеть от выбора $\gamma$.
Но вдруг... не должен, но реально зависит? Вдруг при заданных $P,Q$ мы получим разные значения последнего интеграла для двух разных путей? Ну, значит, для данных $P,Q$ функции $U$ не существует.

Возьмите квадрат $OABC$, вершины которого имеют декартовы координаты
$O(0,0), A(1,0), B(1,1), C(0,1)$
Попробуйте найти $U(B)-U(O)$ для Вашего случая $P=y,\;Q=-x$. Для этого вычислите $\int\limits_\gamma(ydx-xdy)$
а) когда $\gamma$ есть ломаная $OAB$;
б) когда $\gamma$ есть ломаная $OCB$.
Что получилось?

[мат-ламер]

Попытка осмыслить вопрос топик-стартера. Для этого попытался рассмотреть ситуацию в общем виде.

Предположим, что у нас есть теорема: "Если А, то В". В формулировке теоремы не обговаривается нужность А. Хотя есть тонкий намёк, что если А не выполняется, то может быть всякое - В может как выполняться, так и нет. И вопрос о нужности А тут как-бы бессмысленен. И если есть вопрос о нужности условия А, то надо смотреть другую теорему: "Если В, то А".