Почему функция полного дифференциала должна быть C^1

[AntonioVivaldi]

Здравствуйте
Возник вопрос, почему недостаточно существования частных производных для уравнения в полных дифференциалах.

Почему обязана выполняться теорема Шварца (равенство частных производных), чтобы $U$ была гладкой?


Рассмотрим $P dx + Q dy = y dx - x dy$.
Проверим условие:

$\frac{\partial P}{\partial y} = 1, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = -1.$

Условие $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ не выполняется, значит, $U$ не существует.

Что произойдёт, если попытаться "восстановить" $U$?
1. Интегрируем $P = y$ по $x$:

$$U(x, y) = \int y \, dx = xy + \varphi(y).$$

2. Дифференцируем по $y$:

$$\frac{\partial U}{\partial y} = x + \varphi'(y).$$

3. Приравниваем к $Q = -x$:

$$x + \varphi'(y) = -x \implies \varphi'(y) = -2x.$$

Ошибка!
$\varphi(y)$ должна зависеть только от $y$, но здесь она зависит и от $x$.