Принцип Гюйгенса в В ДУЧП

[Red_Herring]

Ende
Выделено из темы «принцип Гюйгенса»

В УЧП под принципом Гюйгенса обычно понимается: внутри конуса/коноида лучей выпущенных из начала фундаментальное решение равно 0. (прошла волна--ничего не осталось). Он выполняется для волнового уравнения с нечетным числом пространственных переменных (но не четным), и младшие члены и переменные коэффициенты разрушают его. Для строго гиперболических уравнений произвольного порядка с постоянными коэффициентами И.Г.Петровский (1948) и дальше Атья, Ботт, Гординг . Известны уравнения второго порядка не сводящиеся заменой переменных к описанным выше для которых он есть.

[пианист]

По Адамару ("Задача Коши для линейных уравнений в частных производных гиперболического типа") это принцип Гюйгенса в узком смысле. Он там целых три разных формулировки привел :)

Red_Herring в сообщении #1684520 писал(а):

Известны уравнения второго порядка не сводящиеся заменой переменных к описанным выше для которых он есть

Видимо, первый такой пример нашел Штельмахер (пять пространственных переменных и еще один член вида $2\frac{u}{{(x^1) }^2}$), это есть в книжечке Н.Х. Ибрагимова "Группы преобразований в математической физике". Сам Наиль Хайруллович нашел широкий класс таких уравнений, связав принцип Гюйгенса с наличием группы движений у ассоциированного с уравнением риманового многообразия (там же).
В более новое время задачей успешно занимался Берест и, видимо, Веселов.

(Оффтоп)

Еще добавлю, что Наиль Хайруллович ставил задачу связать его идеологию с идеологией Петровского (уравнения с лакунами), но за это никто не взялся, насколько я знаю.

[drzewo]

Спрашивалось, очевидно, не об этом.

[Red_Herring]

пианист в сообщении #1684535 писал(а):

Еще добавлю, что Наиль Хайруллович ставил задачу связать его идеологию с идеологией Петровского (уравнения с лакунами), но за это никто не взялся, насколько я знаю.

Задача одна и та же, техника совершенно разная просто потому, что уравнения принципиально разные. А вот для уравнений высших порядков с переменными коэффициентами никаких попыток действительно неизвестно.

drzewo в сообщении #1684546 писал(а):

Спрашивалось, очевидно, не об этом.

Я больше ни о каком другом "принципе Гюйгенса" не слышал. Разумеется, сам Гюйгенс и об этом "принципе Гюйгенса" не слышал.

[realeugene]

Red_Herring в сообщении #1684520 писал(а):

Он выполняется для волнового уравнения с нечетным числом пространственных переменных (но не четным)

А круги на воде?

[Mihr]

(Оффтоп)

пианист в сообщении #1684535 писал(а):

Еще добавлю, что Наиль Хайруллович ставил задачу связать его идеологию с идеологией Петровского (уравнения с лакунами), но за это никто не взялся, насколько я знаю.

Берест пытался заниматься этим. Насколько преуспел - не знаю.

-- 01.05.2025, 11:35 --

realeugene в сообщении #1684552 писал(а):

А круги на воде?

У кругов на воде, вроде, есть лишь передний фронт волны, а заднего нет.

[Red_Herring]

realeugene в сообщении #1684552 писал(а):

А круги на воде?

1. Волны на воде описываются совсем другим уравнением, а вовсе не волновым.
2. И у них нет не только резкого заднего фронта, но даже переднего.

(Оффтоп)

Вероятно, на занятиях по УЧП вы занимались чем-то иным. Например, читали про антропогенный фактор в период палеоцен-эоценового теплового максимума.

[realeugene]

Red_Herring в сообщении #1684558 писал(а):

Вероятно, на занятиях по УЧП вы занимались чем-то иным.

У меня совершенно точно не было кругов на воде.

[Red_Herring]

realeugene в сообщении #1684560 писал(а):

У меня совершенно точно не было кругов на воде.

Безусловно, просто потому, что они описываются другими уравнениями.Но двухмерное волновое уравнение у вас должно было быть. И вы должны знать что там есть только резкий передний фронт, но не задний.

[пианист]

(Оффтоп)

Mihr в сообщении #1684554 писал(а):

Берест пытался заниматься этим. Насколько преуспел - не знаю.

Юра емнис для уравнений, которые нашел Ибрагимов, выписал фундаментальное решение. Чем потом занимался, не знаю, не следил.

[realeugene]

Red_Herring в сообщении #1684563 писал(а):

Но двухмерное волновое уравнение у вас должно было быть.

Возможно. Склероз, видимо.

[Alex-Yu]

Red_Herring в сообщении #1684558 писал(а):

1. Волны на воде описываются совсем другим уравнением, а вовсе не волновым.
2. И у них нет не только резкого заднего фронта, но даже переднего.

У волн на воде резкий передний фронт есть. Хотя его и нет у решений упомянутого ДУЧП. ДУЧП -- это одно, а волны на воде -- совсем другое. Хотя в некоторых специальных условиях между ними и есть кое-что общее.

P.S. Возмущения в воде не могут распространяться быстрее скорости звука. Кстати, то же самое относится к распространению тепла, которое и есть по сути хаотический звук. А то берут уравнение Фурье и начинают рассуждать о бесконечно быстром распространении тепла Я даже книжку такую видел (написанную каким-то геологами), всю на этом построенную. Было бы смешно если бы не было грустно.

[drzewo]

Alex-Yu в сообщении #1684620 писал(а):

распространению тепла, которое и есть по сути хаотический звук.

за лженауку тут иногда вздрючивают

[Alex-Yu]

drzewo в сообщении #1684626 писал(а):

за лженауку т

Так вы еще и не знаете, что такое тепло... Ну-ну

P.S. Во избежание недоразумений. Тот звук, который тепло, волновым уравнением, естественно, не описывается. Еще Пайерлс давным-давно нам объяснил, что здесь играют важную роль процессы переброса. Впрочем, в некоторых очень специальных условиях бывает так называемое "баллистическое распространение тепла", при котором процессы переброса не важны. Но это очень специальные условия.

P.P.S. А еще бывает второй звук.... Это распространяющиеся возмущения в газе тепловых фононов (т.е. в газе тепловых звуковых волн).

P.P.P.S. Реальная действительность, на самом деле, очень далека от того, что фантазируют в своем воображении математики. Даже удивительно, что фантазии математиков иногда (!) все же имеют некоторое отношение к действительности. Вигнер, помнится, даже статью когда-то очень давно написал "Непостижимая эффективность математики в физике" или что-то вроде того.

[Red_Herring]

Alex-Yu в сообщении #1684620 писал(а):

ДУЧП -- это одно, а волны на воде -- совсем другое.

В достаточно реалистических условиях почти одно и тоже. То, что они все же разные: обычно при описании волн на поверхности воды предполагается, что вода абсолютно несжимаема, что противоречит современной физике.