2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Функция распределения и плотность
Сообщение30.04.2025, 03:44 


09/07/20
135
Задача 1. Плотность случайной величины $\xi$ равна $ f_{\xi}(x)=\frac{1}{2 \pi} e^{- \frac{x^2}{2}} $. Найдите функцию распределения и плотность случайной величины $\eta={\xi}^5$.

Решение: Чтобы узнать плотность, из теории знаем, что $ f_{\eta}=f_{\xi}(g^{-1}(x))|(g^{-1}(x))'| $ ; $ \eta=g(\xi) $ ($g(x)$ строго монотонная функция).

В нашем случае:

$f_{\eta}(x)=\frac{1}{2 \pi} e^{- \frac{x^2/5}{2}}|(x^{1/5})'| \Rightarrow f_{\eta}(x)=\frac{1}{10 \pi} e^{- \frac{x^2/5}{2}} x^{-4/5}$.

$f_{\eta}(x)=(F_{\eta}(x))'$ , Где $F_{\eta}(x)$ - функция распределения.

В нашем случае:

$F_{\eta}(x)=\frac{1}{10 \pi} \int_{- \infty}^{x}e^{- \frac{t^2/5}{2}} t^{-4/5}{dt}$.

Задача 2. Известно, что случайная величина $\xi$ имеет нормальное $N(0,1)$ распределение. Найдите функцию распределения и плотность случайной величины $\eta=3\xi+18$.

Решение:

Теория: $ F_{\eta}(x)=F_{\xi}(g^{-1}(x)) $ Где $  \eta = g(\xi) $ является строго возрастающей функцией.

В нашем случае:


Я думаю, здесь следует предположить, что $f_{\xi}(x)$ И $ F_{\xi} $ Известные функции и по формуле
$ f_{\eta}=f_{\xi}(g^{-1}(x))|(g^{-1}(x))'| $:

$f_{\eta}(x)=f_{\xi}(\frac{x-18}{3}) \cdot \frac{1}{3}$. И $ F_{\eta}(x)=F_{\xi}(\frac{x-18}{3}) $.

Задача 3. Известно, что случайная величина $\xi$ имеет нормальное $N(0,1)$ распределение. Найдите функцию распределения и плотность случайной величины $\eta={\xi}^4$.

Решение:

Я думаю, здесь тоже следует предположить, что $ f_{\xi}(x) $ И $ F_{\xi} (x) $ Известные функции Но $g(x)=x^4$ немонотонная функция, и я получил нечто абсурдное.

$F_{\eta}(x)=  F_{\xi}(x^{1/4}) $ , когда $x \geq 0 $ и $F_{\eta}(x)=1- F_{\xi}(-x^{1/4})$ , когда $x<0$

$f_{\eta}(x)=(F_{\eta}(x))'_{x}=\frac{1}{4}f_{\xi}(x^{1/4})|x^{-3/4}|$

Не могу связать задания с теорией. Я сомневаюсь, что решение, ДАЖЕ первой задачи верное. :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция распределения и плотность
Сообщение30.04.2025, 03:55 
Аватара пользователя


22/11/22
835
У нее условие неверное )
$f_\xi$ - не плотность. Отнормируйте как следует.

А чтоб не сомневаться, где тут монотонность правильно приткнута, а где нет, я такие задания по готовой формуле никогда не решаю. Лучше всегда начинать с поисков функции того распределения, которое нужно найти. Прямо по определению. Тогда и немонотонные решатся спокойно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция распределения и плотность
Сообщение30.04.2025, 04:34 


09/07/20
135
То есть, здесь рассматриваем только интервал (0,1)? Тогда функция $g(x)=x^4$ на этом интервале монотонна и все хорошо..

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group