Еще раз о колмогоровской реформе

[vpb]

Mihr в сообщении #1684361 писал(а):

Могу предложить сходу три варианта ответа:
1. Теперь ты можешь спать спокойно и крепко, будучи в твёрдой уверенности: в любой треугольник ты сможешь вписать подходящую окружность. А это, как минимум, прикольно, согласись.
2. Ты можешь объяснить эту теорему своей девушке (своему парню) и этим поразить её (его).
3. Изучив как следует математику, ты сможешь сам(а) в будущем её преподавать. И этим зарабатывать себе на хлеб с маслом. И даже с сыром. Или колбасой.

Ну, эти три варианта какие-то несерьёзные. Третий вообще намекает на то, что математика --- это типа финансовой пирамиды.

Я бы предложил такой ответ, военно-патриотический. Предположим, имеются три дороги, прямолинейных. И требуется куда-то на местности поместить артиллерийскую единицу так, чтобы она препятствовала перемещению по этим трем дорогам наиболее эффективным образом, в следующем смысле: наибольшее расстояние по прямой от артиллеристов до каждой из этих дорог --- наименьшее возможное. Такая вот минимаксная задача. Ну и понятно, что искомая точка --- это как раз и есть центр вписанной окружности.
(Да и вообще как-то так уже несколько столетий повелось, что артиллеристам надо неплохо геометрию знать.)

[мат-ламер]

vpb в сообщении #1684367 писал(а):

Я бы предложил такой ответ, военно-патриотический. Предположим, имеются три дороги, прямолинейных. И требуется куда-то на местности поместить артиллерийскую единицу так, чтобы она препятствовала перемещению по этим трем дорогам наиболее эффективным образом, в следующем смысле: наибольшее расстояние по прямой от артиллеристов до каждой из этих дорог --- наименьшее возможное. Такая вот минимаксная задача. Ну и понятно, что искомая точка --- это как раз и есть центр вписанной окружности.

Вот-вот! Поддерживаю. Сначала в учебнике должны идти практические задачи. А теоремы уже потом. Когда станет ясно, для чего они нужны. Вот мнение Арнольда .

[drzewo]

мат-ламер в сообщении #1684370 писал(а):

Когда станет ясно, для чего они нужны. Вот мнение Арнольда
.

Цитата:

Например, эти студенты никогда не видели параболоида, а вопрос о форме поверхности, заданной уравнением $xy = z^2$, вызывает у математиков, обучающихся в ENS, ступор. Нарисовать на плоскости кривую, заданную параметрическими уравнениями (вроде $x=t^3-3t,\quad y = t^4-2t^2$) — задача совершенно невыполнимая для студентов (и, вероятно, даже для большинства французских профессоров математики).

Вы серьезно считаете, что публицистику этого человека можно воспринимать серьезно и вообще ссылаться на нее в приличном обществе?

[мат-ламер]

drzewo в сообщении #1684371 писал(а):

Вы серьезно считаете, что публицистику этого человека можно воспринимать серьезно и вообще ссылаться на нее в приличном обществе?

Для начала - где я и где Арнольд? Кто я такой, чтобы считать что-то про Арнольда? Единственно думаю, что мнение Арнольда заслуживает внимания. А уж как относится к мнению Арнольда - пусть каждый решает сам. И что взволновало вас в приведённых цитатах, я не понял. Арнольд преподавал в парижском университете и наверное знает, о чём говорит. Если вы преподавали во Франции, расскажите нам, как там обстоят дела.

[Mihr]

мат-ламер в сообщении #1684365 писал(а):

можно и посмеяться

На подобные вопросы трудно отвечать серьёзно.

мат-ламер в сообщении #1684365 писал(а):

Вопрос в том, нужно ли учить евклидову геометрию?

Ответ на этот вопрос зависит от цели обучения. Если цель: научиться уверенно решать как можно более широкий круг задач, то аналитическая геометрия, конечно, эффективнее. (Хотя, возможно, и скучнее). Ну, а если цель - развивать мышление и, в частности, геометрическую интуицию, то мне всё-таки кажется, что евклидова геометрия полезнее. Тем, что оперирует с "самими" объектами, а не координатами их точек. И даёт более ясное представление о свойствах этих объектов. Я думаю так.

мат-ламер в сообщении #1684365 писал(а):

Задача по стереометрии в ЕГЭ решается координатным методом проще.

Однообразнее, и именно в этом смысле проще. Если же под простотой понимать необходимый объём вычислений для данной задачи плюс необходимое количество записей, то в этом смысле зачастую проще будет "школьное" решение.

мат-ламер в сообщении #1684365 писал(а):

Наталья Саакян считает, что в старых учебниках эта мотивация присутствует. А в учебниках Погорелова и Атанасяна её не хватает.

Имеет право считать. Но никто не обязан считать точно так же.

[мат-ламер]

Mihr в сообщении #1684376 писал(а):

На подобные вопросы трудно отвечать серьёзно.

А что, кто-то задавал тут вопрос? Лично у меня вопросов не было. Лично я привёл мнение некоей Саакян о том, что учебник Атанасяна труден для понимания современными школьниками.
Саакян

Mihr в сообщении #1684376 писал(а):

Имеет право считать. Но никто не обязан считать точно так же.

Совершенно с вами согласен. Не должны все думать одинаково. Но, как я думаю, к её мнению стоит прислушаться (не обязательно соглашаться). Как по мне, так вообще учебник Атанасяна очень хороший. Лично для моего восприятия написано очень понятно (в отличие от учебника Колмогова и др.). Но я могу себе представить, как этот же учебник может выглядеть и с другой точки зрения - со стороны ученика.

Mihr в сообщении #1684376 писал(а):

Ответ на этот вопрос зависит от цели обучения. Если цель: научиться уверенно решать как можно более широкий круг задач, то аналитическая геометрия, конечно, эффективнее. (Хотя, возможно, и скучнее). Ну, а если цель - развивать мышление и, в частности, геометрическую интуицию, то мне всё-таки кажется, что евклидова геометрия полезнее. Тем, что оперирует с "самими" объектами, а не координатами их точек.

Я считаю точно так же. А что же считает ученик? У него цель обучения - решить задания в ЕГЭ - одно по планиметрии, второе по стереометрии. И он понимает, что никакие знания доказательств теорем в этом ему не помогут. Вот тему про метод координат (на которую я тут ссылался) открыл школьник, который учился в очень приличном заведении. Вероятно мышление своё он там развил. А вот задачу по стереометрии ЕГЭ он завалил. Хотя тут на форуме мы тут дружно объясняли ему, как решаются подобного рода задачи. И уже было ясно какого рода задача ожидается. Он собирался стать физиком. И поможет ему геометрическая интуиция, полученная в области евклидовой геометрии, в понимании физики - не знаю. Будем надеяться.

[Mihr]

мат-ламер в сообщении #1684380 писал(а):

А что, кто-то задавал тут вопрос?

Да. И не один вопрос, а несколько. Описанный Вами сферический ученик в вакууме (или не сферический в атмосфере, не знаю):

мат-ламер в сообщении #1684354 писал(а):

У ученика возникает законный вопрос - ну и что? Ну, биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке. И что с того? Почему я должен знать это? И почему мне объясняют, как это доказывается?

[мат-ламер]

Ещё по поводу стиля изложения и уровня абстракции, принято в учебниках геометрии для школьников средних классов. Вот учебник геометрии Болтянского, Воловича и Семушина за 1979 год. Привожу задачу 164 буквально в том виде, как она есть:

164. Докажите теорему: $(\forall $ пр. $l,m,n)(l\parallel m$ и $ m\parallel n) \Rightarrow (l\parallel n) $ .

Это упражнение для ученика шестого класса. И тут я как-то не уверен, что выбранная система обозначений уместна для 6-го класса. Также не уверен, что ученик шестого класса уже сам способен доказывать теоремы.

-- Ср апр 30, 2025 08:23:37 --

Ещё насчёт стиля изложения в школьных учебниках. Тут можно иметь разные и противоположные мнения. Но эти мнения можно проверить экспериментально. Один из экспериментов был проведен во Франции. Решили, что изложение должно быть более абстрактно. Вот статья , где в конце обсуждаются результаты этого эксперимента. Во Франции в середине 20-го века было много выдающихся математиков. Сосинский привёл свою точку зрения насчёт современного состояния дел.

-- Ср апр 30, 2025 08:31:34 --

Ещё один эксперимент прошёл при участии самого Сосинского. Он длительное время возглавлял независимый московский университет. Студентов с первого курса окунали в самые глубины абстракции. В лекциях для первокурсников по алгебре уже рассматривались категории, функторы и т.д. Каковы результаты эксперимента. я точно не знаю, но догадываюсь.

Подобный эксперимент проводится и в матфаке ВШЭ. Каковы там успехи, я совсем не в курсе. Но есть и объективные показатели. Есть рейтинг математических факультетов мира. Как в нём котируются НМУ и матфак ВШЭ, я не в курсе. Но догадываюсь.

-- Ср апр 30, 2025 08:40:19 --

Есть ещё один объективный показатель, отражающий уровень развития математики в стране. Рассмотрим международные математические форумы и посмотрим, кого туда приглашают выступать. Да, от России там докладчики бывают. Вот Мишу Вербицкого приглашали. Вот Романа Михайлова (о котором вспоминали тут на форуме) приглашали. Приглашали товарища, который занимается популяризацией математики. Но, если сравнить с 20-м веком, то видно, что что-то пошло не так. И это притом, что в стране большое влияние имеют и специализированные физмат школы. И в олимпиадах хорошие результаты.

[eugensk]

мат-ламер в сообщении #1684418 писал(а):

Но, если сравнить с 20-м веком, то видно, что что-то пошло не так.

В странах соцлагеря математики жили и работали в этих самых странах, уехать было непросто. Сейчас ситуация другая.

[drzewo]

Блин, вот неужели это трудно понять. Тексты Бурбаки написаны математиками для математиков, а не для того чтоб окунать студентов, тем более младших курсов. Это во-первых. Во-вторых, не все тексты Бурбаки одинаковы. Сочинение по тополгическим векторным пространствам кристально ясно написано, трудно что-то рядом поставить.
Я полагаю, что эту провинциальную (вне русскоязычного сообщества этого нет) моду -- обсирать бурбаков завел Арнольд. Теперь эпигоны повторяют. Зачем Арнольду это надо было? -- А зачем ему надо было говорить, что большинство французских профессоров математики не справляются с задачами по анализу для первого курса?

[Red_Herring]

drzewo Разумеется, не все тексты Бурбаков одинаковы, и имеют разные целевые аудитории, зачастую чисто мнимые. Разумеется, советская математика была очень провинциальной, хотя и достигала высочайшего уровня. Подавляющее большинство советских математиков никогда не было даже в социалистических странах. Подавляющее большинство библиотек не имело ни одной иностранной книги (за исключением переводных), при этом присоединение СССР к Конвенции по Авторским Правам в начале 70х сыграло негативную роль: переводить книги стало сложнее. До того некоторые западные журналы издавались фотокопированием (будучи аспирантом я выписывал Comm. Pure Appl. Math.) а потом это закончилось. Переводных книг было мало, причем издавались они один раз (а потом набор рассыпался и использовался повторно). Поэтому тираж был всегда значительным (и книги обычно быстро раскупались в "столицах", потом в крупных городах, а в маленьких городках их можно было купить.

В результате Бурбаки заняли большую долю переводных книг и в восприятии советских математиков этот проект (к которому даже во Франции далеко не все относились с энтузиазмом) воспринимался как нечто монументально-церетелиевское.

В.И. был замечательным математиком и замечательным человеком, очень скромным, что не мешало ему быть весьма ехидным и часто сильно несправедливым. (Быть ободранным В.И. это некая честь, заслужить надо было). Но это было другое время и другие обстоятельства, сейчас и Бурбаки и их критика заняли свое место в истории математики.

[talash]

drzewo в сообщении #1684483 писал(а):

моду -- обсирать бурбаков завел Арнольд

У Пуанкаре много стёба по поводу избыточной формализации, про предшественников Бурбаки:

Цитата:

Проследим за изложением идей Гильберта. Он вводит две аксиомы, которые формулирует на своем символическом языке, но которые на языке таких профанов, как мы, обозначают, что всякое количество равно самому себе и что всякая операция, произведенная над двумя тождественными количествами, дает тождественные результаты.
https://alexandr4784.narod.ru/ap_08_2.html

И тут. И ещё в книгах есть.

[Anton_Peplov]

talash в сообщении #1684576 писал(а):

У Пуанкаре много стёба по поводу избыточной формализации, про предшественников Бурбаки:

Это не предшественники Бурбаки. Это пионеры оснований математики, которые пытались с помощью формализации убедиться, что в известных теоремах нет двусмысленностей и логических ошибок. И добились в этом больших успехов, пока не уперлись в фундаментальные ограничения, указанные Геделем. Они проложили путь к компьютерной проверке доказательств, которая имеет свои ограничения и неудобства, но тем не менее применяется. Никто, включая Гильберта, не предполагал преподавать на этом языке математику, уж тем более школьникам. Так что к чему Ваш комментарий в теме про колмогоровскую реформу - загадка, не разрешимая в ZFC.

[talash]

(Оффтоп)

Может быть, я ответил оффтопом на оффтоп. Гораздо более непонятно Anton_Peplov к чему Ваш комментарий в теме про преподавание школьникам? Хотя бы в оффтоп завернули, раз блюститель такой.

[мат-ламер]

По поводу моей реплики:

мат-ламер в сообщении #1684354 писал(а):

У ученика возникает законный вопрос - ну и что? Ну, биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке. И что с того? Почему я должен знать это? И почему мне объясняют, как это доказывается?

которая вызвала соответствующую реакцию:

Mihr в сообщении #1684361 писал(а):

Могу предложить сходу три варианта ответа:
1. Теперь ты можешь спать спокойно и крепко, будучи в твёрдой уверенности: в любой треугольник ты сможешь вписать подходящую окружность. А это, как минимум, прикольно, согласись.
2. Ты можешь объяснить эту теорему своей девушке (своему парню) и этим поразить её (его).
3. Изучив как следует математику, ты сможешь сам(а) в будущем её преподавать. И этим зарабатывать себе на хлеб с маслом. И даже с сыром. Или колбасой.

Mihr в сообщении #1684376 писал(а):

На подобные вопросы трудно отвечать серьёзно.

попалась мне на глаза статья (Федулкин. Геометрия в 7 классе, стр.25). (Это собрались на мастер-класс лучшие учителя Москвы). Советую прочитать первую страницу. Всю не буду переписывать. Одну фразу цитирую:

Цитата:

Традиционный вопрос "Что надо сделать?" становится как-бы второстепенным, уступая главное место вопросу: "Почему надо сделать именно это?"

То есть школьники уже в самом начале изучения геометрии не понимают общий смысл происходящего. И это в лучших школах Москвы.