Оператор сглаживания

[Padawan]

Пусть $\Omega\subset\mathbb R^m$ -- область, и задан линейный оператор $A\colon L_{1,loc}(\Omega)\to C^{\infty}(\Omega)$. Предположим, что оператор $A$ обладает следующим свойством непрерывности: для любой функции $f\in L_{1,loc}(\Omega)$ и любой последовательности функций $\{f_n\}_{n=1}^\infty\subset L_{1,loc}(\Omega)$ такой, что $\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_D|f_n(x)-f(x)|dx=0$ для любой области с компактным замыканием $\overline D\subset\Omega$, выполнено

$$ \lim\limits_{n\to\infty}\int_{\Omega}\varphi(x)Af_n(x)dx=\int_{\Omega}\varphi(x)Af(x)dx $$

для любой функции $\varphi\in C_0^{\infty}(\Omega)$ (т.е. с компактным носителем $\operatorname{supp}\varphi\subset\Omega$).

Доказать, что тогда на самом деле функции $Af_n$ сходятся к $Af$ вместе со всеми своими частными производными равномерно на компактных подмножествах $\Omega$ (то есть $Af_n\to Af$ в пространстве Фреше $C^\infty (\Omega)$).

[drzewo]

выкладывайте уже решение

[Padawan]

Ок. Просто применить теорему о замкнутом графике к отображению $F$-пространств $A\colon L_{1, loc}(\Omega)\to C^\infty (\Omega) $. Круто?

[drzewo]

Круто!