Задача МФТИ Равномерная сходимость функционального ряда

[Hazlarorn]

Ende
Переписал условие задачи с картинки https://imgur.com/a/lYtFm2K

Добрый вечер уважаемые участники форума.

Условие задачи:
Пусть последовательность неотрицательных непрерывных на отрезке $[a, b]$ функций $(f_n)$ убывает по $n$ и поточечно стремится к нулевой функции. Докажите, что $(f_n)$ сходится равномерно.

Задачу вроде бы решил но хотелось бы узнать мнение людей которые в этом разбираются круче чем я так сказать.
Вот примерный алгоритм решения:
1) Использование супремум критерия для равномерной сходимости https://imgur.com/a/XE4eQeR
2)Для каждого члена последовательности используем теорему Вейштрасса (о достижении функции максимального значения на отрезке). Из пункта 1 (супремум критерий)
3)Из условия задачи также следует что построенная в пункте 2 последовательность является монотонно убывающей и ограниченной снизу
4)Применение теоремы Вейштрасса для последовательности из пункта 2
Profit?

Заранее спасибо

(Пы сы ну и конечно замечание о том что если последовательность поточечно сходится к функции то равномерно она сходится может только к данной функции и никакой другой)

[drzewo]

krum в сообщении #1572021 писал(а):

Пусть имеется последовательность непрерывных функций $f_n(x)\to f(x)$ -- поточечно на компактном метрическом пространстве $X\ni x$ сходящаяся к непрерывной функции $f(x)$. Причем $f_n\le f_{n+1}$. Допустим эта последовательность не сходится равномерно, тогда существует подпоследовательность, которую мы продолжим обозначать через $f_n$ такая, что $f(x_n)-f_n(x_n)>c>0$ и $x_n\to \tilde x$. Это получается просто из отрицания равномерной сходимости и того, что на компакте всякая последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность.
Для всех $n$ начиная с некоторого и некоторого фиксированного $k$ верны оценки

$$c<f(x_n)-f_n(x_n)<f(\tilde x)+\varepsilon_1-f_n(x_n)<f_k(\tilde x)+\varepsilon_2+\varepsilon_1-f_n(x_n)<f_k(x_n)+\varepsilon_3+\varepsilon_2+\varepsilon_1-f_n(x_n)$$

Это противоречие т.к. $n>k$ и $f_k(x_n)>f_n(x_n)$. ЧТД

[Hazlarorn]

drzewo

А где ошибка в моем доказательстве?

[drzewo]

Hazlarorn в сообщении #1683301 писал(а):

А где ошибка в моем доказательстве?

а где доказательство?

[Hazlarorn]

drzewo

Вроде в самом первом(моем посте) написана примерная идея доказательства(алгоритм решения).

[Combat Zone]

Hazlarorn
Идея - хорошо. Когда вы по этой идее напишете доказательство, тогда, собственно, и будет что обсудить (где вы ошибаетесь и ошибаетесь ли).

[sup]

drzewo в сообщении #1683300 писал(а):

на компактном метрическом пространстве $X\ni x$ сходящаяся к непрерывной функции $f(x)$

А зачем здесь метрическое пространство? Думаю, можно немножко "облегчить" доказательство (убрать все эти индексированные эпсилон итд).
Чистая компактность. Фиксируем $\varepsilon > 0$. Для всякой точки $x \in X$ найдется $n$ такое, что $f_n(x) > f(x) - \varepsilon$. В силу непрерывности $f_n$ это неравенство выполняется и в некоторой открытой окрестности $U_x$ \ni x$. Ну и все. Из открытого покрытия выбираем конечное подпокрытие. Для каждого множества свой номер $n$, берем максимум. Начиная с этого номера уже для любой точки $y$ выполнено неравенство $f_n(y) > f(y) - \varepsilon$.

Любопытно отметить, что в приведенном доказательстве, ВРОДЕ БЫ, не используется предположение, что $f(x)$ непрерывна. Меня это как-то смутило. Но это, разумеется, не так. Прикольно.

[Combat Zone]

Задача в том, чтобы повторить доказательство теоремы Дини или его улучшить?

[sup]

(Оффтоп)

Вау, а я и не заметил, что это теорема Дини. Какой конфуз.
Ну, хоть сообщение удаляй

[Combat Zone]

(Оффтоп)

Зачем ) правильно же доказали :) Прям один в один. Там, правда, сильно не разгуляешься.

[sup]

(Оффтоп)

Да у меня что-то щелкнуло в башке на слова о метрическом пространстве. Я и закусился.
То, что получилось один-в-один, лишний раз доказывает, что у профессионалов весьма стереотипное мышление.
Ну, может, не само мышление, а подходы к доказательству.
Примерно, как серьезные шахматисты в некоторой позиции обсуждают примерно одинаковый (небольшой!) набор ходов.

[drzewo]

sup в сообщении #1683307 писал(а):

А зачем здесь метрическое пространство?

может тогда и от предположения $n\in\mathbb{N}$ откажемся? :)

[sup]

Ну, все ... влип, очкарик

(Оффтоп)

Возник крайне неприятный инцидент, и все время, пока инцидент распутывался, пока Фарфуркиса унижали, сгибали в бараний рог, вытирали об него ноги и выбивали ему бубну, Выбегалло, как бы говоря: "Вот злонравия достойные плоды!" — укоризненно качал головой и многозначительно поглядывал в мою сторону. Потом Фарфуркиса, растоптанного, растерзанного, измолоченного и измочаленного, пустили униженно догнивать на его место, а сами, отдуваясь, опуская засученные рукава, вычищая клочья шкуры из-под когтей, облизывая окровавленные клыки и непроизвольно взрыкивая, расселись за столом и объявили себя готовыми к утреннему заседанию.

Комендант впился в раскрытую папку скрюченными пальцами, в последний раз глянул поверх бумаги на поверженного врага налитыми глазами, в последний раз с оттяжкой кинул задними лапами землю и, только втянув жадно раздутыми ноздрями сладостный аромат разложения, окончательно успокоился.

(С)

[drzewo]

sup в сообщении #1683307 писал(а):

Любопытно отметить, что в приведенном доказательстве, ВРОДЕ БЫ, не используется предположение, что $f(x)$ непрерывна.

а оно ,вроде, действительно не используется, а используется

$$\limsup_{x\to \tilde x}f(x)\le f(\tilde x)$$

Upper semicontinuity
а для функций $f_n$ должна быть lower semicontinuity
(не помню как по русски, пардон)

-- 22.04.2025, 10:10 --

Даллее поточечный предел возрастающей последовательности lsc функций это lsc функция. Поэтому на самом деле $f$ непрерывна -- но это уже тогда утверждение теоремы, а не предположение.

-- 22.04.2025, 10:15 --

И так.
Теорема. Пусть возрастающая последовательность lsc функций $f_n$ сходится поточечно на компакте к функции $f$ upper semicontinuous
Тогда $f$ -- непрерывна, а сходимость равномерна.

[Hazlarorn]

Так идея правильная или нет? Или формально написать?