Оператор проектирования

[Padawan]

Выделенное утверждение же не верно?
Рассмотрим на $X$ неограниченный линейный функционал $f$. Пусть $X_0=\operatorname{Ker} f$, $X_1=\langle v\rangle$, где $f(v)=1$. Тогда $X_0$ всюду плотно, $X=X_0\oplus X_1$. При этом оператор проектирования $P\colon X\to X_1$, $P(x)=vf(x)$, являющийся оператором проектирования на $X_1$ вдоль $X_0$, неограничен. Оператор проектирования $Q\colon X\to X_0$ тогда тоже неограничен, т.к. $Q=I-P$.

-- Пт апр 18, 2025 14:22:28 --

Вот если бы одно подпространство было конечномерно, а другое замкнуто, то утверждение было бы верным: в любом нормированном пространстве алгебраическая прямая сумма замкнутого и конечномерного подпространств является топологической прямой суммой.

[drzewo]

наверное хотели сказать, что любое конечномерное подпространство топологически дополняемо:)

[Padawan]

drzewo
Там есть две подряд идущие задачи про это:
6.13. Доказать, что конечномерное подпространство в нормированном $X$ топологически дополняемо.
6.14. Доказать, что замкнутое подпространство конечной коразмерности в нормированном $X$ топологически дополняемо.

Видимо, действительно, в задаче 6.9. забыли упомянуть замкнутость подпространств.