2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Ошибка или опечатка?
Сообщение10.04.2025, 19:04 


18/05/15
788
Ширяев, Вероятность-I, гл. 3, §4. Пункт 4 начинается со слов: Поскольку $$\max_{1\leqslant j\leqslant n}\mathsf{E}\xi_{nj}^2 \leqslant \varepsilon^2 + \sum_{j=1}^n\mathsf{E}[\xi_{nj}^2I(|\xi_{nj}|\geqslant\varepsilon)],\qquad (1)$$ то ясно, что из условия Линдеберга вытекает, что $$\max_{1\leqslant j\leqslant n}\mathsf{E}\xi_{nj}^2 \to 0,\quad n\to\infty.$$

В (1) $\xi_{nj}$ - случайные величины с конечным вторым моментом; $I(A)$ - индикатор множества $A$; $n$ любое натуральное число, и $\varepsilon>0$. Можно также предположить, что $\mathsf{D}\xi_{n1} +... + \mathsf{D}\xi_{nn} = 1$.

Попытка доказать (1): $$\max_{1\leqslant j\leqslant n}\mathsf{E}\xi_{nj}^2 \leqslant \sum_{j=1}^n\mathsf{E}\xi_{nj}^2 = \sum_{j=1}^n(\mathsf{E}[\xi_{nj}^2I(|\xi_{nj}|\geqslant\varepsilon) +\xi_{nj}^2I(|\xi_{nj}|<\varepsilon)]) \leqslant \sum_{j=1}^n\mathsf{E}[\xi_{nj}^2I(|\xi_{nj}|\geqslant\varepsilon)] + \varepsilon^2\sum_{j=1}^n\mathsf{P}(|\xi_{nj}|<\varepsilon).$$
Но сумма вероятностей $\mathsf{P}(|\xi_{nj}|<\varepsilon)$ может быть больше единицы и, вообще говоря, может расти вместе с $n$. То есть доказывать надо по-другому. Опечатку или ошибку в самом учебнике тоже не исключаю. Принципиальной роли это не играет, просто любопытно. Заранее благодарю за ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка или опечатка?
Сообщение10.04.2025, 19:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9652
Цюрих
У Вас слева мат. ожидание потерялось, без него это неравенство совсем уж странное.

Вы слишком амбициозно сразу перешли к сумме. Максимум слева достигается при каком-то конкретном $j$. Разбейте соответствующее ожидание на две части, и одну из них оцените суммой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка или опечатка?
Сообщение10.04.2025, 20:20 


18/05/15
788
mihaild в сообщении #1681689 писал(а):
Максимум слева достигается при каком-то конкретном $j$. Разбейте соответствующее ожидание на две части, и одну из них оцените суммой.

А что значит разбить на две части соответствующее ожидание? Допустим, максимум достигается при $j=n$. Соответствующее ожидание - это матожидание $\mathsf{E}\xi_{nn}^2$ ?

-- 10.04.2025, 21:31 --

mihaild в сообщении #1681689 писал(а):
У Вас слева мат. ожидание потерялось

Да, точно. Автоматически использовал свои макросы. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка или опечатка?
Сообщение10.04.2025, 20:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9652
Цюрих
ihq.pl в сообщении #1681693 писал(а):
А что значит разбить на две части соответствующее ожидание?
ihq.pl в сообщении #1681687 писал(а):
$$ \sum_{j=1}^n\mathsf{E}\xi_{nj}^2 = \sum_{j=1}^n(\mathsf{E}[\xi_{nj}^2I(|\xi_{nj}|\geqslant\varepsilon) +\xi_{nj}^2I(|\xi_{nj}|<\varepsilon)])$$
Вот то же самое, только для одного слагаемого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка или опечатка?
Сообщение10.04.2025, 21:18 


18/05/15
788
mihaild, понял:)

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка или опечатка?
Сообщение16.04.2025, 11:10 


18/05/15
788
Неотрицательную случайную величину $\xi$ (в том числе расширенную) можно представить как предел монотонной последовательности: $\xi_n\uparrow \xi$, где
$$\xi_n = \sum_{k=0}^{n 2^n}x_k I_{\{x_k\leqslant \xi < x_{k+1}\}},\quad x_k = \begin{cases} k/2^n, &k\leqslant n 2^n \\ +\infty, & k=n 2^n+1\end{cases}$$
(Ширяев, Вероятность-I, гл. 2, §4, теорема 1).

Не лучше ли сразу писать индикаторы по множествам $\{x_k < \xi \leqslant x_{k+1}\}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка или опечатка?
Сообщение16.04.2025, 11:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9652
Цюрих
ihq.pl в сообщении #1682396 писал(а):
Не лучше ли сразу писать индикаторы по множествам $\{x_k < \xi \leqslant x_{k+1}\}$?
Непонятно - эти индикаторы в записи уже есть. Что Вы хотите поменять?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка или опечатка?
Сообщение16.04.2025, 11:32 


18/05/15
788
mihaild в сообщении #1682402 писал(а):
Непонятно - эти индикаторы в записи уже есть.

там индикаторы полуинтервалов $[a,b)$. Но полуинтервалы $(a,b]$ мне кажутся лучше. В следующем параграфе мера Лебега-Стилтьеса определяется на таких полуинтервалах: $\mathsf{P}(a,b] = F(b)-F(a)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка или опечатка?
Сообщение16.04.2025, 12:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9652
Цюрих
Да, так тоже можно, но это не очень важно. Потому что почти всё определяется через взятие монотонного приближения (и для этого нам надо доказать, что оно существует) и доказывается, что результат от конкретного приближения не зависит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка или опечатка?
Сообщение27.04.2025, 15:49 


18/05/15
788
Ширяев, Вероятность-I, глава 3, параграф 13.
Пусть $\zeta_1,\zeta_2,...$ - последовательность независимых экспоненциально распределенных ($\mathsf{P}(\zeta_k>x_k)=e^{-x_k}$) случайных величин, и пусть $S_n = \zeta_1+...+\zeta_n$.
Пусть $\Delta_{N+1} = \{x_1\leqslant x_1 \leqslant...\leqslant x_{N+1}\}.$ Тогда (формула(16) в учебнике)
$$\begin{align}
\begin{split}
&\mathsf{P}(S_1\in dx_1,...,S_{N+1}\in dx_{N+1}) = \mathsf{P}(\zeta_1\in dx_1, \zeta_2\in dx_2-x_1...,\zeta_{N+1} \in dx_{N+1}-x_N) =\\
& = e^{-x_1}e^{-(x_2-x_1)}...e^{-(x_{N+1}-x_N)}dx_1...dx_{N+1} = e^{-x_N+1}dx_1...dx_{N+1},
\end{split}\qquad \eqno{(16)}
\end{align}$$
если $(x_1,...,x_{N+1})\in \Delta_{N+1}$, и $\mathsf{P}(S_1\in dx_1,...,S_{N+1}\in dx_{N+1}) = 0$, если $(x_1,...,x_{N+1})\not\in \Delta_{N+1}$


В конце формулы (16) опечатка: должно быть $e^{-x_{N+1}}$. Но вопрос в другом. Смущают обозначения $dx_k$. С одной стороны $dx_k\subset [x_{k-1}, x_{k+1}]$, а с другой - это дифференциал, т.е.
$$\mathsf{P}(S_1\in (a_1,b_1],...,S_{N+1}\in (a_{N+1},b_{N+1}]) = \int\limits_{a_1}^{b_1}...\int\limits_{a_{N+1}}^{b_{N+1}}e^{-x_{N+1}}dx_1...dx_{N+1}$$
(интервалы $(a_k,b_k]$ не пересекаются). Может, надо было обозначить как-то по-другому?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка или опечатка?
Сообщение28.04.2025, 06:10 
Аватара пользователя


22/11/22
830
В теории вероятностей при использовании записи $dx$ в контексте $P\{X \in dx\}$, где X - абсолютно непрерывная случайная величина, имеет несколько другой смысл, чем в анализе.
Она означает вероятность того, что случайная величина $ X $ принимает значение в "бесконечно малом" интервале $ (x, x + dx) $. И $dx$ означает длину этого интервала.

Чисто формально $P\{X \in dx\} = f_X(x) \, dx$, где $f_X$ - плотность с.в.

Это обозначение удобно в ряде случаев, но если оно смущает, можно уйти от него к записи через малые интервалы, однако выкладки станут более громоздкими.

ihq.pl в сообщении #1683965 писал(а):
С одной стороны $dx_k\subset [x_{k-1}, x_{k+1}]$

Нет, так это не интерпретируется. Это единое обозначение, введенное одновременно для интервала $(x, x+dx)$ и его длины. К нему надо просто привыкнуть.

Правая часть в (16) не вызвала вопросов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка или опечатка?
Сообщение28.04.2025, 09:05 


18/05/15
788
Combat Zone в сообщении #1684086 писал(а):
Правая часть в (16) не вызвала вопросов?

Имеете в виду опечатку $e^{-x_{N}+1}$ ? Должно быть $e^{-x_{N+1}}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка или опечатка?
Сообщение28.04.2025, 10:38 


18/05/15
788
Но скорее всего другое. Я так проверял это равенство:
$$
\begin{align}
\begin{split}
\mathsf{P}&(S_1\in dx_1,...,S_{N+1}\in dx_{N+1}) = \\
&=\mathsf{P}(\zeta_1\in dx_1, \zeta_2\in dx_2-x_1, \zeta_3\in dx_3-x_2-x_1,..,\zeta_{N+1} \in dx_{N+1}-x_N-...-x_1).
\end{split}
\end{align}
$$
Теперь если для некоторого $k$ имеет место неравенство $x_{k+1}<x_k,$ то $dx_{k+1}-x_k<0$. Но $\mathsf{P}(\zeta_{k+1}< 0) = 0$. Поэтому если условие $$x_1\leqslant x_2\leqslant...\leqslant x_{N+1}\qquad (1)$$ не выполняется, то $\mathsf{P}(S_1\in dx_1,...,S_{N+1}\in dx_{N+1}) = 0$. Другой вопрос всегда ли $$\mathsf{P}&(S_1\in dx_1,...,S_{N+1}\in dx_{N+1})>0,$$ если (1) выполняется? Пусть даже в (1) строгие неравенства, может случиться, что, например, $dx_3-x_2-x_1<0$... что-то не так делаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка или опечатка?
Сообщение29.04.2025, 01:05 
Аватара пользователя


22/11/22
830
ihq.pl в сообщении #1684096 писал(а):
Имеете в виду опечатку $e^{-x_{N}+1}$ ? Должно быть $e^{-x_{N+1}}$.

Нет, ту правую, которая посередине :)
ihq.pl в сообщении #1684121 писал(а):
это равенство:
$$
\begin{align}
\begin{split}
\mathsf{P}&(S_1\in dx_1,...,S_{N+1}\in dx_{N+1}) = \\
&=\mathsf{P}(\zeta_1\in dx_1, \zeta_2\in dx_2-x_1, \zeta_3\in dx_3-x_2-x_1,..,\zeta_{N+1} \in dx_{N+1}-x_N-...-x_1).
\end{split}
\end{align}
$$

Не, ну это же неправда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка или опечатка?
Сообщение29.04.2025, 10:38 


18/05/15
788
Combat Zone в сообщении #1684262 писал(а):
Не, ну это же неправда.

Разобрался, спасибо)
Да, "вопросы" должны были возникнуть. Но не возникли. Вернее, возникли только после Вашего вопроса)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group