2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнения движения и производные высших порядков
Сообщение05.04.2025, 13:18 


26/08/13
67
Вопрос простой: почему в уравнениях движения (речь сейчас о классической механике) не присутствуют производные координат по времени выше второго порядка? Т.е. почему в конечном итоге мы приходим только к выражениям, содержащим $q$ (обобщённая координата), $\dot{q}$ (обобщённая скорость) и $\ddot{q}$ (обобщённое ускорение), и не появляется вещей вроде $\dddot{q}$ ("ускорение ускорения"), $\ddddot{q}$ и т.п.?

Формально, я так понимаю, это следствие применения принципа наименьшего действия для конкретного вида функции Лагранжа. Тогда вопрос смещается немного "вверх по течению": почему мы задаём функцию Лагранжа (и вводим принцип наименьшего действия) именно таким образом, чтобы подобные вещи там не возникали?

Том I Ландау и Лифшица (первый параграф) писал(а):
Одновременное же задание всех координат и скоростей полностью определяет, как показывает опыт, состояние системы и позволяет в принципе предсказать дальнейшее ее движение. С математической точки зрения это значит, что заданием всех координат и скоростей в некоторый момент времени однозначно определяется также и значение ускорений в этот момент.

Т.е., по их словам, как показывает опыт, если мы так делаем (пишем функцию Лагранжа, зависящую только от $q$, $\dot{q}$ и $t$), то в принципе получаем правильный результат.
Правильно ли я понимаю, что, в сущности, это лишь постулируется? Тогда, надо думать, подобный формализм применим лишь к случаям, где это заведомо так?
И тогда дополнительный вопрос: есть ли известные случаи, когда это не так?
И, быть может, есть формализмы, отличные от использующих функции Лагранжа или Гамильтона, где уравнения движения строятся как-то по-иному?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения движения и производные высших порядков
Сообщение05.04.2025, 13:21 


21/12/16
1491
paladin17 в сообщении #1681174 писал(а):
Вопрос простой: почему в уравнениях движения (речь сейчас о классической механике) не присутствуют производные координат по времени выше второго порядка?

Потому, что принцип детерминированности -- постулат полученный обобщением экспериментальных данных. см Арнольд Мат. методы классической механики.

-- 05.04.2025, 14:24 --

Вариационный принцип Гамильтона -- это не вся механика. Бывают неголономные системы, бывают системы с трением. Систем в которых нарушался бы принцип детерминированности ни кто в классической механике не видел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения движения и производные высших порядков
Сообщение05.04.2025, 16:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4807
drzewo в сообщении #1681175 писал(а):
ни кто в классической механике не видел.

А Козырев?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения движения и производные высших порядков
Сообщение05.04.2025, 16:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5412
ФТИ им. Иоффе СПб
drzewo в сообщении #1681175 писал(а):
Систем в которых нарушался бы принцип детерминированности ни кто в классической механике не видел.
Вообще-то, в классике есть радиационное трение (сила, возникающая от того, что ускоренно движущийся заряд излучает электромагнитные волны), пропорциональное третьей производной. С ней возникают всякие неприятности. Но, как говорил А.Н. Васильев, эти проблемы находятся на грани области применимости классической механики и электродинамики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения движения и производные высших порядков
Сообщение05.04.2025, 17:41 


21/12/16
1491
Я приношу извинения топикстартеру paladin17.
Как совершенно справедливо указали заслуженные участники
Geen и amon
принцип детерминированности может нарушаться в классической механике.
Присоединяюсь к рекомендации Geen читать Козырева:
Geen в сообщении #1681198 писал(а):
drzewo в сообщении #1681175 писал(а):
ни кто в классической механике не видел.

А Козырев?

и к рекомендации amon причислить к эффектам классической механики радиационное трение:
amon в сообщении #1681200 писал(а):
Вообще-то, в классике есть радиационное трение (сила, возникающая от того, что ускоренно движущийся заряд излучает электромагнитные волны), пропорциональное третьей производной.

С благоговением перед означенными участниками оставляю дальнейшее обсуждение в этой ветке на их усмотрение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения движения и производные высших порядков
Сообщение05.04.2025, 18:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11523
Hogtown
Бывает, что система 2го порядка сводится к одному уравнению высших порядков, но в этом случае эти высшие порядки являются эффектом сведения (при котором исключаются какие-либо неизвестные). Вопрос: появление производных высших порядков по времени и в других случаях не является таким же эффектом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения движения и производные высших порядков
Сообщение05.04.2025, 18:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
20/04/25
12999
Собственно, к словам "как показывает опыт" ничего особо и не прибавить. Теории с высшими производными существуют и хороши всем, кроме того, что в природе им ничего или почти ничего не соответствует. На нынешнем уровне понимания природы, разумеется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения движения и производные высших порядков
Сообщение05.04.2025, 20:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4807
drzewo в сообщении #1681203 писал(а):
Присоединяюсь к рекомендации Geen читать Козырева

Не было такого. ;-)
Я его и сам не читал (тем более, что закончилось всё плохо) :mrgreen: так что мне бы просто хватило Вашего мнения

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения движения и производные высших порядков
Сообщение05.04.2025, 21:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5412
ФТИ им. Иоффе СПб
drzewo в сообщении #1681203 писал(а):
к рекомендации amon причислить к эффектам классической механики радиационное трение
А чем, по-Вашему, "трение о поле" хуже "трения о брусок"? Другое дело, что область применимости приближения классического радиационного трения не очень понятна, и эффект, как правило, копеечный. Но для инженерных ("механических") расчетов ускорителей его надо учитывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения движения и производные высших порядков
Сообщение07.04.2025, 22:23 


07/06/17
1285
Производные высших порядков используются в технике.
Третью производную пути по времени (jerk) учитывают при проектировании поворотов на дорогах, лифтов и всяких аттракционов. Когда Хаббл проектировали, то НАСА наложило ограничение на 3-ю и 4-ю производные - боялись повредить прибор, т.к. включение-выключение двигателей при запуске Шаттлов было пакетным. Думаю, речь о креплении телескопа в грузовом отсеке.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: _pv


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group