2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнения движения и производные высших порядков
Сообщение05.04.2025, 13:18 


26/08/13
67
Вопрос простой: почему в уравнениях движения (речь сейчас о классической механике) не присутствуют производные координат по времени выше второго порядка? Т.е. почему в конечном итоге мы приходим только к выражениям, содержащим $q$ (обобщённая координата), $\dot{q}$ (обобщённая скорость) и $\ddot{q}$ (обобщённое ускорение), и не появляется вещей вроде $\dddot{q}$ ("ускорение ускорения"), $\ddddot{q}$ и т.п.?

Формально, я так понимаю, это следствие применения принципа наименьшего действия для конкретного вида функции Лагранжа. Тогда вопрос смещается немного "вверх по течению": почему мы задаём функцию Лагранжа (и вводим принцип наименьшего действия) именно таким образом, чтобы подобные вещи там не возникали?

Том I Ландау и Лифшица (первый параграф) писал(а):
Одновременное же задание всех координат и скоростей полностью определяет, как показывает опыт, состояние системы и позволяет в принципе предсказать дальнейшее ее движение. С математической точки зрения это значит, что заданием всех координат и скоростей в некоторый момент времени однозначно определяется также и значение ускорений в этот момент.

Т.е., по их словам, как показывает опыт, если мы так делаем (пишем функцию Лагранжа, зависящую только от $q$, $\dot{q}$ и $t$), то в принципе получаем правильный результат.
Правильно ли я понимаю, что, в сущности, это лишь постулируется? Тогда, надо думать, подобный формализм применим лишь к случаям, где это заведомо так?
И тогда дополнительный вопрос: есть ли известные случаи, когда это не так?
И, быть может, есть формализмы, отличные от использующих функции Лагранжа или Гамильтона, где уравнения движения строятся как-то по-иному?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения движения и производные высших порядков
Сообщение05.04.2025, 13:21 


21/12/16
1487
paladin17 в сообщении #1681174 писал(а):
Вопрос простой: почему в уравнениях движения (речь сейчас о классической механике) не присутствуют производные координат по времени выше второго порядка?

Потому, что принцип детерминированности -- постулат полученный обобщением экспериментальных данных. см Арнольд Мат. методы классической механики.

-- 05.04.2025, 14:24 --

Вариационный принцип Гамильтона -- это не вся механика. Бывают неголономные системы, бывают системы с трением. Систем в которых нарушался бы принцип детерминированности ни кто в классической механике не видел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения движения и производные высших порядков
Сообщение05.04.2025, 16:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4804
drzewo в сообщении #1681175 писал(а):
ни кто в классической механике не видел.

А Козырев?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения движения и производные высших порядков
Сообщение05.04.2025, 16:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5411
ФТИ им. Иоффе СПб
drzewo в сообщении #1681175 писал(а):
Систем в которых нарушался бы принцип детерминированности ни кто в классической механике не видел.
Вообще-то, в классике есть радиационное трение (сила, возникающая от того, что ускоренно движущийся заряд излучает электромагнитные волны), пропорциональное третьей производной. С ней возникают всякие неприятности. Но, как говорил А.Н. Васильев, эти проблемы находятся на грани области применимости классической механики и электродинамики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения движения и производные высших порядков
Сообщение05.04.2025, 17:41 


21/12/16
1487
Я приношу извинения топикстартеру paladin17.
Как совершенно справедливо указали заслуженные участники
Geen и amon
принцип детерминированности может нарушаться в классической механике.
Присоединяюсь к рекомендации Geen читать Козырева:
Geen в сообщении #1681198 писал(а):
drzewo в сообщении #1681175 писал(а):
ни кто в классической механике не видел.

А Козырев?

и к рекомендации amon причислить к эффектам классической механики радиационное трение:
amon в сообщении #1681200 писал(а):
Вообще-то, в классике есть радиационное трение (сила, возникающая от того, что ускоренно движущийся заряд излучает электромагнитные волны), пропорциональное третьей производной.

С благоговением перед означенными участниками оставляю дальнейшее обсуждение в этой ветке на их усмотрение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения движения и производные высших порядков
Сообщение05.04.2025, 18:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11522
Hogtown
Бывает, что система 2го порядка сводится к одному уравнению высших порядков, но в этом случае эти высшие порядки являются эффектом сведения (при котором исключаются какие-либо неизвестные). Вопрос: появление производных высших порядков по времени и в других случаях не является таким же эффектом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения движения и производные высших порядков
Сообщение05.04.2025, 18:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
20/04/25
12999
Собственно, к словам "как показывает опыт" ничего особо и не прибавить. Теории с высшими производными существуют и хороши всем, кроме того, что в природе им ничего или почти ничего не соответствует. На нынешнем уровне понимания природы, разумеется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения движения и производные высших порядков
Сообщение05.04.2025, 20:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4804
drzewo в сообщении #1681203 писал(а):
Присоединяюсь к рекомендации Geen читать Козырева

Не было такого. ;-)
Я его и сам не читал (тем более, что закончилось всё плохо) :mrgreen: так что мне бы просто хватило Вашего мнения

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения движения и производные высших порядков
Сообщение05.04.2025, 21:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5411
ФТИ им. Иоффе СПб
drzewo в сообщении #1681203 писал(а):
к рекомендации amon причислить к эффектам классической механики радиационное трение
А чем, по-Вашему, "трение о поле" хуже "трения о брусок"? Другое дело, что область применимости приближения классического радиационного трения не очень понятна, и эффект, как правило, копеечный. Но для инженерных ("механических") расчетов ускорителей его надо учитывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения движения и производные высших порядков
Сообщение07.04.2025, 22:23 


07/06/17
1284
Производные высших порядков используются в технике.
Третью производную пути по времени (jerk) учитывают при проектировании поворотов на дорогах, лифтов и всяких аттракционов. Когда Хаббл проектировали, то НАСА наложило ограничение на 3-ю и 4-ю производные - боялись повредить прибор, т.к. включение-выключение двигателей при запуске Шаттлов было пакетным. Думаю, речь о креплении телескопа в грузовом отсеке.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group