Избавиться от мнимой единицы

[B@R5uk]

Что-то не могу сообразить, можно ли следующую величину (которая является действительной) записать в радикалах без мнимой единицы:

$$y=\frac{1}{z}+z,\qquad z=\sqrt[3]{\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}}$$

Если что, я ищу корень на отрезке от 0 до 1 уравнения

$$x^3+x^2-x-\frac{1}{9}=0$$

который выражается как

$$x=\frac{-1+2y}{3}$$

На игрек получается уравнение

$$y^3-3y+1=0$$

[Null]

Если действительных корня 3 то нельзя. Это теорема Casus irreducibilis

[мат-ламер]

Null в сообщении #1681148 писал(а):

Если действительных корня 3 то нельзя. Это теорема Casus irreducibilis

Нужно ещё убедиться, что рациональных корней вообще нет. Подстановкой убеждаемся, что $y=\pm 1$ нам не подходит. И других рациональных корней нет.

-- Сб апр 05, 2025 08:52:49 --

B@R5uk в сообщении #1681146 писал(а):

Что-то не могу сообразить, можно ли следующую величину (которая является действительной) записать в радикалах без мнимой единицы:

У корня третьей степени три значения. Попробуйте записать их с помощью тригонометрических функций (если вам так будет удобней). Далее в формуле присутствует сумма двух корней, но не любых. Из девяти возможных вариантов нужно выбрать три нужных.

[Null]

мат-ламер в сообщении #1681154 писал(а):

Далее в формуле присутствует сумма двух корней, но не любых

У B@R5uk это учтено: $y=\frac{1}{z}+z$

[wrest]

B@R5uk в сообщении #1681146 писал(а):

На игрек получается уравнение

$$y^3-3y+1=0$$

Именно оно приведено как пример неприводимого в статье https://ru.wikipedia.org/wiki/Casus_irreducibilis

[B@R5uk]

Null в сообщении #1681148 писал(а):

Это теорема Casus irreducibilis

Спасибо! Был не в курсе о существовании такой штуки. Век живи — век учись.

[wrest]

B@R5uk в сообщении #1681146 писал(а):

Если что, я ищу корень на отрезке от 0 до 1 уравнения

$$x^3+x^2-x-\frac{1}{9}=0$$

Ответ в элементарных функциях такой:
$x=\frac13 \left(4 \cos(\frac{2\pi}{9})-1\right)=\dfrac{ 4 \cos(40^{\circ})-1}{3}$

-- 05.04.2025, 11:49 --

B@R5uk в сообщении #1681146 писал(а):

На игрек получается уравнение

$$y^3-3y+1=0$$

Нужный вам корень $y=2 \cos (40^{\circ})$

[B@R5uk]

wrest, спасибо!

Вообще, икс здесь — это косинус зенитного угла (альфа в уравнении ниже), задающего координаты вершин одной из фигур из соседней темы. Уравнение на него получилось вот из этого:

$$\cos\gamma=-\cos\beta=\cos\alpha\cos\beta+\frac{1}{2}\sin\alpha\sin\beta=\cos^2\alpha-\frac{1}{2}\sin^2\alpha$$

На косинус гамма (задающий угловую длину ребра) у меня получилось такое уравнение:

$$3x^3-9x^2-3x+1=0$$

Причесав решение Вольфрам-Альфа для искомого корня получил такой крокодил:

$$x=1-\frac{2}{\sqrt{3}}\left(z+\frac{1}{z}\right),\qquad z=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}+i}{2}}$$

Величина зет здесь — это произведение двух корней из единицы и сама им является. Поэтому для икса получается такое выражение:

$$x=1-\frac{4}{\sqrt{3}}\cos70^{\circ}$$

Теперь вот думаю: выводить ли для синусов альфа и бета полиномиальные уравнения из исходного, или же можно их получить из уравнений для косинусов?