2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Избавиться от мнимой единицы
Сообщение05.04.2025, 05:37 
Аватара пользователя


26/05/12
1853
приходит весна?
Что-то не могу сообразить, можно ли следующую величину (которая является действительной) записать в радикалах без мнимой единицы: $$y=\frac{1}{z}+z,\qquad z=\sqrt[3]{\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}}$$

Если что, я ищу корень на отрезке от 0 до 1 уравнения $$x^3+x^2-x-\frac{1}{9}=0$$ который выражается как $$x=\frac{-1+2y}{3}$$ На игрек получается уравнение $$y^3-3y+1=0$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Избавиться от мнимой единицы
Сообщение05.04.2025, 07:00 
Заслуженный участник


12/08/10
1720
Если действительных корня 3 то нельзя. Это теорема Casus irreducibilis

 Профиль  
                  
 
 Re: Избавиться от мнимой единицы
Сообщение05.04.2025, 08:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7354
Null в сообщении #1681148 писал(а):
Если действительных корня 3 то нельзя. Это теорема Casus irreducibilis

Нужно ещё убедиться, что рациональных корней вообще нет. Подстановкой убеждаемся, что $y=\pm 1$ нам не подходит. И других рациональных корней нет.

-- Сб апр 05, 2025 08:52:49 --

B@R5uk в сообщении #1681146 писал(а):
Что-то не могу сообразить, можно ли следующую величину (которая является действительной) записать в радикалах без мнимой единицы:

У корня третьей степени три значения. Попробуйте записать их с помощью тригонометрических функций (если вам так будет удобней). Далее в формуле присутствует сумма двух корней, но не любых. Из девяти возможных вариантов нужно выбрать три нужных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Избавиться от мнимой единицы
Сообщение05.04.2025, 08:54 
Заслуженный участник


12/08/10
1720
мат-ламер в сообщении #1681154 писал(а):
Далее в формуле присутствует сумма двух корней, но не любых
У B@R5uk это учтено: $y=\frac{1}{z}+z$

 Профиль  
                  
 
 Re: Избавиться от мнимой единицы
Сообщение05.04.2025, 10:38 


05/09/16
12430
B@R5uk в сообщении #1681146 писал(а):
На игрек получается уравнение $$y^3-3y+1=0$$

Именно оно приведено как пример неприводимого в статье https://ru.wikipedia.org/wiki/Casus_irreducibilis

 Профиль  
                  
 
 Re: Избавиться от мнимой единицы
Сообщение05.04.2025, 11:15 
Аватара пользователя


26/05/12
1853
приходит весна?
Null в сообщении #1681148 писал(а):
Это теорема Casus irreducibilis
Спасибо! Был не в курсе о существовании такой штуки. Век живи — век учись.

 Профиль  
                  
 
 Re: Избавиться от мнимой единицы
Сообщение05.04.2025, 11:39 


05/09/16
12430
B@R5uk в сообщении #1681146 писал(а):
Если что, я ищу корень на отрезке от 0 до 1 уравнения $$x^3+x^2-x-\frac{1}{9}=0$$

Ответ в элементарных функциях такой:
$x=\frac13 \left(4 \cos(\frac{2\pi}{9})-1\right)=\dfrac{ 4 \cos(40^{\circ})-1}{3}$

-- 05.04.2025, 11:49 --

B@R5uk в сообщении #1681146 писал(а):
На игрек получается уравнение $$y^3-3y+1=0$$

Нужный вам корень $y=2 \cos (40^{\circ})$

 Профиль  
                  
 
 Re: Избавиться от мнимой единицы
Сообщение05.04.2025, 14:55 
Аватара пользователя


26/05/12
1853
приходит весна?
wrest, спасибо!

Вообще, икс здесь — это косинус зенитного угла (альфа в уравнении ниже), задающего координаты вершин одной из фигур из соседней темы. Уравнение на него получилось вот из этого: $$\cos\gamma=-\cos\beta=\cos\alpha\cos\beta+\frac{1}{2}\sin\alpha\sin\beta=\cos^2\alpha-\frac{1}{2}\sin^2\alpha$$ На косинус гамма (задающий угловую длину ребра) у меня получилось такое уравнение: $$3x^3-9x^2-3x+1=0$$ Причесав решение Вольфрам-Альфа для искомого корня получил такой крокодил: $$x=1-\frac{2}{\sqrt{3}}\left(z+\frac{1}{z}\right),\qquad z=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}+i}{2}}$$ Величина зет здесь — это произведение двух корней из единицы и сама им является. Поэтому для икса получается такое выражение: $$x=1-\frac{4}{\sqrt{3}}\cos70^{\circ}$$ Теперь вот думаю: выводить ли для синусов альфа и бета полиномиальные уравнения из исходного, или же можно их получить из уравнений для косинусов?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group