Падение на наклонную плоскость

[drzewo]

Эта задача частенько всплывает на всяких разных олимпиадах и на форуме. Тут например: https://dxdy.ru/topic155840.html
В частности возникают вопросы, должен ли угол падения быть равен углу отражения. Из приведенных формул это можно вычислить.


(чтобы увидеть оси координат по картинке надо кликнуть)


Материальная точка массы $m$ абсолютно упруго ударяется о гладкую наклонную поверхность клина массы $M$. Клин может ездить без трения влево-вправо по горизонтальной плоскости. Подразумевается, что связи при ударе идеальны.

Теорию удара см. Болотин Карапетян Кугушев Трещев Теор. мех.

Компоненты скорости материальной точки за мгновение до удара (см. картинку): $(\dot a,\dot b)$;
скорость клина за мгновение до удара: $\dot u$.
Сразу после удара скорости имеют вид

$$\dot a^+=\dot a-\frac{2p\tg\alpha}{m},\quad \dot b^+=\dot b+\frac{2p}{m},\quad \dot u^+=\dot u+\frac{2p\tg\alpha}{M},$$

где

$$p=\frac{\tg\alpha(\dot a-\dot u)-\dot b}{\tg^2\alpha\Big(\frac{1}{M}+\frac{1}{m}\Big)+\frac{1}{m}}$$

Кинетическая энергия системы: $T=m(\dot a^2+\dot b^2)/2+M\dot u^2/2;$

ударная связь: $( a- u)\tg\alpha- b=0$.