Интерполяционная формула Ньютона

[bot]

Откуда факториалы у икса взялись? Коэффициенты указаны в явном виде (хотя гораздо проще помнить простой алгоритм их вычисления), вот их и подставляйте.

[ewert]

$$\Delta^1f_0=f_1-f_0;$$

$$\Delta^2f_0=f_2-2f_1+f_0;$$

$$\Delta^3f_0=f_3-3f_2+3f_1-f_0;$$

$$\Delta^4f_0=f_4-4f_3+6f_2-4f_1+f_0;$$

$$\Delta^5f_0=f_5-5f_4+10f_3-10f_2+5f_1-f_0;$$

$$\Delta^6f_0=f_6-6f_5+15f_4-20f_3+15f_2-6f_1+f_0;$$

и т.д.;

$$L_m(x)=f_0+\Delta^1f_0\cdot(x-0)+{\Delta^2f_0\over2!}(x-0)(x-1)+\ldots+{\Delta^mf_0\over m!}(x-0)(x-1)\cdots(x-x_{m-1}).$$

[Nxx]

Это понятно, но я просил без дельт. И множители с иксом можно как-то через гамма-функцию или биноминальные коэффициенты?

[ewert]

Вы слишком многого просили.
Т.е. слишком длинного -- и непонятного; и, как минимум -- неудобного.

Добавлено спустя 52 секунды:

Nxx в сообщении #168092 писал(а):

И множители с иксом можно как-то через гамма-функцию

Можно, но никому не нужно.

[Nxx]

В общем виде дельты как выразить через биноминальные коэффициенты или гамма-функцию?

[ewert]

Nxx в сообщении #168095 писал(а):

В общем виде дельты как выразить через биноминальные коэффициенты

$$\Delta^m f_0=\sum_{k=0}^m(-1)^k\,C_m^k\,f_{m-k}$$

.

И это -- тоже формула, которая ровным счётом никому практически не нужна.

[Nxx]

То есть,

$$f(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\left( C_m^x \sum_{k=0}^m(-1)^k\,C_m^k\,f_{m-k}\right)$$

?

[TOTAL]

Красивая формула. Как проверить, правильная ли?

[Nxx]

TOTAL писал(а):

Красивая формула. Как проверить, правильная ли?

Просто записал в других обозначениях приведенную выше формулу. Если не ошибся, то все должно быть правильно. Число комбинаций надо понимать в обобщенном на действительные числа смысле, видимо.

[ewert]

Nxx писал(а):

То есть,

$$f(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\left( C_m^x \sum_{k=0}^m(-1)^k\,C_m^k\,f_{m-k}\right)$$

?

Ну тогда уж

$$L_n(x)=\sum_{m=0}^{n}\left( C_x^m \sum_{k=0}^m(-1)^k\,C_m^k\,f_{m-k}\right)$$

(этому ещё можно придать некий смысл, если под факториалами в первом коэффициенте понимать соотв. гамма-функции). Только опять же не уверен, что это нужно...

[TOTAL]

Nxx писал(а):

TOTAL писал(а):

Красивая формула. Как проверить, правильная ли?

Просто записал в других обозначениях приведенную выше формулу. Если не ошибся, то все должно быть правильно.

Какие способы проверки правильности знаете? Проверьте на всякий случай.

[Nxx]

Да, так правильно. Спасибо за поправку.

Добавлено спустя 1 минуту 45 секунд:

Попробую проверить на примере. Мне интересно, сработает ли эта формула для распространения тетрации на действительные показатели?

По идее, это самый естественный способ обобщения.

[ewert]

Да, и, разумеется, внешняя сумма -- не до бесконечности (сперва не обратил внимания).

[Nxx]

Собственно, если обобщать функцию, то имеет смысл суммировать только до бесконечности - это или работает, или нет.

$$L_\infty(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\left( C_x^m \sum_{k=0}^m(-1)^k\,C_m^k\,f_{m-k}\right)$$

Добавлено спустя 2 минуты 43 секунды:


Или есть другая причина, почему до бесконечности суммировать нельзя? Ряд не сходится?

[TOTAL]

Nxx писал(а):

Собственно, если обобщать функцию, то имеет смысл суммировать только до бесконечности - это или работает, или нет.

Чтобы судить работает ли, надо чтобы была какая-то цель. Здесь же никакой цели не было.