Устойчивость

[Padawan]

EUgeneUS в сообщении #1680778 писал(а):

Для поверхности с нулевой кривизной - не зависит.

Пока что это не доказано

[drzewo]

Padawan
так я не понял, вот с этим как:

Padawan в сообщении #1680767 писал(а):

Нет, не правильно.

[realeugene]

drzewo в сообщении #1680774 писал(а):

Нельзя экспериментально проверить или использовать, что какая-то величина в точности равна нулю.

О, вы наконец-то начали рассуждать как физик, задумавшись о точности своих выводов.

Физически устойчивость в подобных ситуациях определяется не какими-то коэффициентами разложения в точке, а высотой потенциального барьера в окрестности этого локального минимума, который телу нужно преодолеть, чтобы свалиться. То есть свойством нелокальным. И соотношением этой высоты барьера с возможной энергией возмущений.

[drzewo]

EUgeneUS в сообщении #1680778 писал(а):

И эти два различных математически случая мы не можем различить в эксперименте

Да, не можем. И что? есть масса вещей в теории, которые не допускают лобовых проверок. Я не вижу в этом проблемы просто на чисто мировоззренческом уровне.

[Padawan]

drzewo
Вывод про устойчивость при нулевых кривизнах в точке контакта не правильный.

[drzewo]

Padawan в сообщении #1680786 писал(а):

drzewo
Вывод про устойчивость при нулевых кривизнах в точке контакта не правильный.

Я написал асимптотику производной потенциальной энергии. Из нее (см знаки производной) видно, что при $s<0$ потненциал убывает, а при $s>0$ возрастает.
Что еще нужно для минимума?

[Padawan]

drzewo
Не видно.

[drzewo]

Padawan в сообщении #1680789 писал(а):

Не видно.

внимательнее смотрите, моя формула не совпадает с Вашей

[Padawan]

При нулевых кривизнах в точке контакта по Вашей формуле выходит $V(s) $ константа. Но это же не так.

[drzewo]

Padawan в сообщении #1680793 писал(а):

При нулевых кривизнах в точке контакта по Вашей формуле выходит $V(s) $ константа. Но это же не так.

Да, действительно. Я напишу аккуратней:

$$\frac{V'}{mg}=s\cdot\big(k(s)+\tilde k(s)\big)\cdot\big(1-(k(0)+\tilde k(0))h+o(1)\big),\quad s\to 0$$

[Padawan]

Ну если так, то да, будет. Я перепроверю.

[drzewo]

Padawan в сообщении #1680797 писал(а):

Ну если так, то да, будет. Я перепроверю.

Да, пожалуйста перепроверьте. Вы заявили, что у теорема, которую я сформулировал, ошибочна. Такие вещи либо доказывают либо извиняются.

[Padawan]

drzewo
Да, я проверил. Ваша последняя формула с множителем $\tilde k(s) +k(s) $ правильная, у меня так же получается. Приношу извинения.

-- Ср апр 02, 2025 21:19:23 --

(Оффтоп)

Если интересно, я воспользовался параметрическим представлениям "кривой качения", которое приведено в статье Википедии https://en.m.wikipedia.org/wiki/Roulette_(curve) в разделе Formal definition. По-моему это красивое применение комплексных чисел.

[drzewo]

для меня это стандартная кинематика
https://storage4u.ru/file/2025/04/03/86647614b8ff5f99cb8159ad05c623e6.pdf

[drzewo]

Трудно удержаться от соблазна выписать лагранжиан

$$L=\frac{\kappa^2}{2}\Big(m(x^2+y^2)+J_C\Big)\dot s^2-V(s),$$

здесь $\kappa(s)=k(s)+\tilde k(s).$ Функции $x(s),y(s)$ являются решением задачи Коши

$$x'=-k(s)y-1,\quad y'=k(s)x,\quad x\mid_{s=0}=0,\quad y\mid_{s=0}=-h.$$

Эта система интегрируется в квадратурах; $x^2+y^2$ -- квадрат расстояния от точки контакта до центра масс $C$.

$$V'(s)=mg\kappa(s)\big(y(s)\sin\varphi-x(s)\cos\varphi\big),\quad \varphi(s)=\int_0^s\tilde k(\xi)d\xi.$$

-- 03.04.2025, 21:00 --

Любопытный нюанс состоит в том, что предположение $\kappa(0)=0$ влечет сингулярность в уравнениях Лагранжа. Может она устранима, может нет. Это отдельный разговор.