Устойчивость

[drzewo]

Это просто наблюдение, которое мне показалось забавным.
На вершине горы стоит однородный ящик высоты $b$. Ящик находится в положении равновесия: прямая, проходящая через его центр масс $S$ и точку контакта ящика с горой вертикальна. Ящик по поверхности горы не проскальзывает.
Гора может быть описана графиком выпуклой вверх гладкой функции со строгим максимумом.
Так вот оказывается, что если кривизна графика в точке максимума равна нулю, то положение равновесия устойчиво независимо от высоты ящика.



подробности

(Оффтоп)

предполагается, что кривизна графика равна нулю в точке максимума и больше нуля в проколотой окрестности точки максимума

[мат-ламер]

Довольно неожиданно. Интуитивно кажется, что при малом отклонении ящика от положения равновесия его центр тяжести хоть немного, но опустится.

[Geen]

мат-ламер в сообщении #1680417 писал(а):

Интуитивно кажется, что при малом отклонении ящика от положения равновесия его центр тяжести хоть немного, но опустится.

А это важно?

[Dmitriy40]

Ни разу не видел устойчиво стоящих на острие вещей. Пусть даже прямоугольных, пусть даже не на острие, а на сфере малого радиуса (по сравнению с размерами предмета).

[dsge]

Dmitriy40 в сообщении #1680426 писал(а):

Ни разу не видел устойчиво стоящих на острие вещей. Пусть даже прямоугольных, пусть даже не на острие, а на сфере малого радиуса (по сравнению с размерами предмета).

Если кривизна равна нулю, то это почти плоская вещь.

[Утундрий]

Ситуация также интересна тем, что совершенно физически не реализуема.

[Sender]

Так, а если ящик описывается графиком выпуклой вниз функции со строгим минимумом с нулевой кривизной в точке минимума, эффект сохранится?

[drzewo]

Хороший вопрос. Формулы писать надо.

[sergey zhukov]

Что-то подобное может использоваться в рычажных весах ( т.е. очень низкий прямоугольник, практически планка), чтобы равновесие достигалось не только при идеальном балансе весов, но и при дисбалансе (планка, соответственно, будет перекошена). В случае планки это равновесие при любом перекосе довольно очевидно: плечи автоматически подбираются против дисбаланса весов.

[Dan B-Yallay]

Geen в сообщении #1680420 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1680417 писал(а):

Интуитивно кажется, что при малом отклонении ящика от положения равновесия его центр тяжести хоть немного, но опустится.

А это важно?

А для устойчивого равновесия это разве неважно?

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1680417 писал(а):

Интуитивно кажется, что при малом отклонении ящика от положения равновесия его центр тяжести хоть немного, но опустится.

Это был мой первый чисто интуитивный взгляд на проблему. Но зная слабость своей интуиции в физических задачах, решил взять в руку ручку. Гору решил описывать функцией $f(x)=-x^4$ . Пусть точка касания ящика и горы сместилась влево на величину $l$. Тогда середина основания ящика поднимется вверх на величину порядка $a l^4$ (с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, здесь $a>0$ некоторая константа). В то же время центр тяжести ящика опустится вниз относительно середины его основания на величину порядка $b l^6$ (здесь $b>0$ некоторая константа, зависящая от высоты ящика). И в общем получается, что высота центра тяжести ящика при малом отклонении действительно увеличивается. Поэтому я и написал:

мат-ламер в сообщении #1680417 писал(а):

Довольно неожиданно.

Интуиция меня в данном случае подвела.

[EUgeneUS]

Dmitriy40 в сообщении #1680426 писал(а):

Ни разу не видел устойчиво стоящих на острие вещей.

Можно и в точке уравновесить - известный фокус с двумя вилками и зубочисткой. Но это совсем другая история.

-- 31.03.2025, 09:57 --

drzewo в сообщении #1680400 писал(а):

Гора может быть описана графиком выпуклой вверх гладкой функции со строгим максимумом.
Так вот оказывается, что если кривизна графика в точке максимума равна нулю, то положение равновесия устойчиво независимо от высоты ящика.

Факт забавный.
Простейшие функции, удовлетворяющие требованию: $f(x)= - |x^k|$, где $k>2$.
Если учесть, что такие функции при $k \to \infty$ стремятся к прямоугольнику, то удивительность факта несколько уменьшается, но все равно забавно.

-- 31.03.2025, 10:00 --

Утундрий в сообщении #1680430 писал(а):

Ситуация также интересна тем, что совершенно физически не реализуема.

Да, ладно.
Тривиальный факт, что устойчивость цилиндра, поставленного на основание на плоскую горизонтальную поверхность, не зависит от высоты цилиндра, в свою очередь никак не зависит от того, что при большом отношении высоты цилиндра к диаметру основания установить цилиндр в такое положение становится физически трудно.

[realeugene]

drzewo в сообщении #1680400 писал(а):

Так вот оказывается, что если кривизна графика в точке максимума равна нулю, то положение равновесия устойчиво независимо от высоты ящика.

Да, но почему это наблюдение опубликовано в разделе физики, а не математики?

[EUgeneUS]

drzewo в сообщении #1680438 писал(а):

Хороший вопрос. Формулы писать надо.

Интуитивно, при достаточно больших показателях будет устойчиво.
Типа такого (гипотеза):
Пусть гора $f(x) = - | x^k|$, предмет $g(x) = |x^l|$, $k, l > 1$
Тогда при $ 1/k + 1/l < 1/2$ будет устойчиво.

[realeugene]

Утундрий в сообщении #1680430 писал(а):

Ситуация также интересна тем, что совершенно физически не реализуема.

Ага. Физики должны как минимум сравнивать возможное увеличение потенциальной энергии системы при увеличении высоты с энергией присутствующих в системе шумов, а не с нулём. И при некоторой желаемой точности начать учитывать деформацию этого ящика на игле и самой иглы в месте контакта.

-- 31.03.2025, 10:28 --

мат-ламер в сообщении #1680417 писал(а):

Довольно неожиданно. Интуитивно кажется, что при малом отклонении ящика от положения равновесия его центр тяжести хоть немного, но опустится.

Довольно очевидно, если просто помнить ряд Тейлора для косинуса. При малом смещении точки контакта в сторону, расстояние в ящике от точки контакта до ЦТ ящика увеличивается квадратично, а высота точки контакта опускается медленнее, чем квадратично.