2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Преобразование Фурье, Принцип неопределённости
Сообщение02.04.2025, 22:38 


10/11/11
83
$$\varphi(t)=\int e^{itx}f(x)dx;\quad\quad\quad 
f(x)=\frac{1}{2\pi}\int e^{-itx}\varphi(t)dt;$$
проверим согласованность
$$f(x)=e^{-ikx}\quad\leftrightarrow\quad \varphi(t)=2\pi\delta(t-k)$$
$$f(x)=\delta(x-m)\quad\leftrightarrow\quad \varphi(t)=e^{imt} \qquad \Rightarrow \int e^{ikt}dt=2\pi\delta(k)$$
$$g\leftrightarrow\psi\quad h\leftrightarrow\chi\quad \Rightarrow \quad2\pi\langle g|h\rangle=\langle \psi|\chi\rangle$$
возьмём локализованную волну (существуют конечные "матожидание" и "дисперсия", плотность вероятности (ненормированная) $=|f(x)|^2$)
$$E:=2\pi\int |f(x)|^2dx=\int|\varphi(t)|^2dt$$
$$x_0:=\int x|f(x)|^2dx; \qquad t_0:=\int t|\varphi(t)|^2dt$$
$$g(x):=(x-x_0)f(x) \quad\leftrightarrow\quad  \psi(t)=\int e^{itx}(x-x_0)f(x)dx$$
$$h(x)=\frac{1}{2\pi}\int e^{-itx}(t-t_0)\varphi(t)dt \quad\leftrightarrow\quad  \chi(t):=(t-t_0)\varphi(x)   $$
$$2\pi D_x=2\pi\|g\|^2=2\pi\int(x-x_0)^2|f(x)|^2dx; \qquad D_t=\|\chi\|^2=\int (t-t_0)^2|\varphi(t)|^2dt$$
Коши-Буняковский-Шварц-Риман:
$$2\pi D_xD_t=2\pi\|g\|^2\|\chi\|^2\ge|\langle\chi|\psi\rangle|^2$$
$$\psi(t)=-i\frac{d\varphi(t)}{dt}-x_0\varphi(t)$$
Помогите посчитать следующий интеграл:
$$\langle\chi|\psi\rangle = \int\left(-i\frac{d\varphi(t)}{dt}-x_0\varphi(t)\right)(t-t_0)\varphi^*(t)dt$$
$$1-1)\qquad-i\int\frac{d\varphi(t)}{dt}t\varphi^*(t)dt=:-iI$$
$$I=\int t\varphi^*(t)d(\varphi(t)) = 
t|\varphi(t)|^2\Bigg|_{-\infty}^{+\infty} - \int|\varphi(t)|^2dt - \int t \varphi(t)d(\varphi^*(t)) = 
0-E-I^*$$
$$-i\operatorname{Re}I=
\frac{iE}{2}$$
$$1-2)\qquad -it_0\operatorname{Re}\left(\int\frac{d\varphi(t)}{dt}\varphi^*(t)dt\right)=
-it_0\frac{|\varphi(t)|^2}{2}\bigg|_{-\infty}^{+\infty}=0$$
$$2-1)\qquad -x_0\int\varphi(t)t\varphi^*(t)dt=-x_0t_0$$
$$2-2)\qquad x_0t_0\int\varphi(t)\varphi^*(t)dt=x_0t_0E$$
Должно получиться $$\langle\chi|\psi\rangle = \operatorname{const} E$$
а получается что-то совсем другое

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование Фурье, Принцип неопределённости
Сообщение03.04.2025, 02:37 


10/11/11
83
Решил проверить раздел на википедии
и вот получается добавка $x_0t_0(E-1)$. Ну можно конечно сказать, что пусть исходная функция будет нормирована на единицу, но википедия говорит, что это не обязательно
Цитата:
$\Delta x\Delta t = 4\sqrt{D_xD_t}\ge \frac{E}{\pi}$

Ну и кроме того у меня получается получить результат только для действительнозначной $\varphi$, хотелось бы в общем случае

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group